운동과 정지

서울에서 부산으로 가는 KTX에 앉아 책을 읽고 있다고 해 보자. 여러분은 움직이고 있을까? 맞은편에 앉은 사람은 아니라고 할 것이다. 여러분은 가는 내내 그 사람에게서 1 m 떨어진 같은 자리에 앉아 있었고 한 번도 움직이지 않았다. 그런데 대전역 승강장에 서 있는 사람은 여러분이 방금 300 km/h로 자기 앞을 휙 지나갔다고 말할 것이다. 그리고 두 사람 모두 옳다.

위에서는 승강장에서, 아래에서는 객차에서 열차를 본다. 두 빨간 화살표는 같은 운동을 서로 다른 곳에서 본 것이다.

역에 서 있는 열차에 앉아 본 사람이라면 누구나 이런 착각을 겪어 보았을 것이다. 옆 선로의 열차가 천천히 출발하면 잠깐 동안 내가 탄 열차가 출발하는 것처럼 느껴진다. 역 건물을 보고 나서야 내 열차는 서 있다는 것을 안다. 눈은 운동을 견주어 볼 무언가가 있어야 한다.

기준계

물체가 움직이는지 정지해 있는지는 그 자체로는 정할 수 없다. 언제나 무엇에 대하여인지를 덧붙여야 한다. 운동을 판단하는 기준이 되는 물체를 기준 물체라고 한다. 열차 안의 맞은편 사람에게는 객차가, 승강장의 사람에게는 지구가 기준 물체이다.

물체가 기준 물체에 대한 위치를 바꾸지 않으면 그 물체는 정지해 있다. 여러분은 객차에 대해서는 정지해 있고 지구에 대해서는 움직인다. 반대로 승강장의 사람은 지구에 대해서는 서 있지만 여러분에 대해서는 300 km/h로 뒤쪽으로 멀어진다. 운동과 정지는 상대적이다. 즉 어디에서 보느냐에 따라 달라진다.

위치를 수로 나타내려면 기준 물체에 좌표계를 붙인다. 점 하나를 골라 원점이라 하고, 수학에서 그래프를 그릴 때처럼 원점에서 x축과 y축을 긋는다. 역이라면 원점을 예를 들어 역무원이 서 있는 곳에 두고, x축은 선로를 따라, y축은 선로에 수직으로 둘 수 있다. 그러면 물체의 위치는 수 두 개, 즉 한 축 방향으로 얼마나 떨어져 있는지와 다른 축 방향으로 얼마나 떨어져 있는지로 정해진다. 열차 안에서는 원점을 예를 들어 객차 문에 둔다. 기준 물체와 좌표계, 그리고 시간을 재는 시계를 함께 기준계라고 한다.

객차 안 여러분의 위치인 검은 점은 x축을 따르는 빨간 거리와 y축을 따르는 파란 거리로 정해진다.

일상에서는 거의 언제나 지구가 기준계이므로 굳이 말하지 않을 때가 많다. 자동차가 90 km/h로 달린다거나 집이 서 있다고 말할 때는 지구에 대한 운동이나 정지를 뜻한다. 하지만 ‘움직이지 않는’ 집도 완전히 정지해 있는 것은 아니다. 지구는 자전하므로 한국에 있는 집은 하루에 둘레가 약 32,000 km인 원을 그린다. 한 시간에 1,300 km 넘게 가는 셈이다. 게다가 지구는 약 30 km/s의 속력으로 태양 둘레를 공전한다. 이 문장을 다 읽는 동안 우리는 집과 소파와 함께 지구를 타고 150 km쯤 날아간다. 그런데 태양도 정지해 있지 않고 은하의 중심 둘레를 돈다. 무엇에 대하여인지 말하지 않고 ‘진짜로’ 정지해 있는 물체는 없다.

질점

서울과 부산 사이의 경부고속도로를 달리는 자동차는 길이가 약 4.5 m이다. 고속도로 전체는 약 416 km이다. 고속도로 전체를 종이에 길이 20 cm인 선으로 그리면, 그 그림에서 자동차는 약 2 µm로 머리카락 굵기의 35분의 1밖에 되지 않는다. 자동차가 언제 부산에 도착하는지 알고 싶다면 자동차의 길이, 운전대의 위치, 창문이 열렸는지는 상관없다. 자동차를 지도 위를 움직이는 점 하나로 생각할 수 있다.

이렇게 단순화한 것을 질점이라고 한다. 질점은 주어진 상황에서 크기를 무시할 수 있는 물체이다. 물체를 점으로 바꾸고 그 점에 물체 전체의 질량을 준다. 물리에서는 회전하거나 휘거나 모양이 바뀔 수 있는 실제 물체보다 질점으로 계산하기가 훨씬 쉽다.

물체를 질점으로 볼 수 있는지는 물체 자체가 아니라 우리가 던지는 질문이 정한다. 같은 자동차라도 주차할 때는 질점이 아니다. 이때는 바로 자동차의 크기가 중요하다. 다른 두 자동차 사이에 들어갈 수 있는지, 연석까지 몇 cm가 남는지가 문제이기 때문이다. 반대로 지구는 태양 둘레를 공전할 때 질점이다. 지구의 지름 약 12,700 km는 태양까지의 거리 150,000,000 km에 비하면 무시할 수 있다. 하지만 낮과 밤이 바뀌는 것을 생각할 때는 지구가 회전하는 공이라는 것을 고려해야 하므로 점으로 바꿀 수 없다.

왼쪽의 먼 길에서는 자동차를 점으로 바꾸어도 되지만, 오른쪽의 주차에서는 자동차의 크기가 중요하다.

운동 경로

질점이 움직이면서 그리는 선을 운동 경로라고 한다. 운동 경로가 눈에 보일 때도 있다. 하늘 높이 나는 비행기는 하얀 비행운을 남기고, 스키 타는 사람은 눈 위에 자국을 남긴다. 운동 경로는 직선일 수도, 원일 수도, 다른 어떤 곡선일 수도 있다.

운동과 정지처럼 운동 경로도 기준계에 따라 달라진다. 자전거 앞바퀴의 공기 주입구를 보자. 자전거를 타고 가는 사람이 앞바퀴를 내려다보면 바퀴는 제자리에서 돌고 공기 주입구는 빙글빙글 돈다. 공기 주입구의 운동 경로는 원이다. 그런데 보도에 서서 자전거가 지나가는 것을 보는 친구에게는 원이 보이지 않는다. 바퀴는 앞으로 굴러가고 공기 주입구도 함께 앞으로 가므로 아치가 이어진 모양을 그린다.

그림의 위쪽은 자전거 타는 사람이 본 바퀴, 즉 자전거 몸체에 붙인 기준계에서 본 바퀴이다. 주황색 공기 주입구는 빨간 원을 따라 돈다. 아래쪽은 같은 바퀴를 땅에 붙인 기준계에서 본 것이다. 회색 점선 원은 공기 주입구가 길바닥에 닿아 있을 때 바퀴가 있던 자리이다. 바퀴가 한 바퀴 도는 동안 공기 주입구는 빨간 아치를 그린다. 그림의 위와 아래는 같은 공기 주입구의 같은 운동을 서로 다른 두 기준계에서 본 것이다. 애니메이션은 이것을 차근차근 보여 준다. 바퀴가 위에서는 돌고 아래에서는 동시에 굴러가며, 공기 주입구는 두 자국을 동시에 그린다.

공기 주입구가 보도에서 볼 때 그리는 곡선을 사이클로이드라고 한다. 뾰족한 끝은 공기 주입구가 길바닥에 닿는 아래쪽에 있다. 바퀴는 길 위에서 미끄러지지 않고 굴러가므로, 지금 땅에 닿아 있는 곳은 한순간 정지해 있다. 공기 주입구는 거기에서 멈췄다가 곧바로 올라가는데, 처음에는 거의 수직으로 올라간다. 엄밀히 말하면 공기 주입구는 타이어 표면보다 몇 cm 안쪽의 림에 붙어 있어서 길바닥에 닿지 않으므로, 그 곡선은 아래쪽에 뾰족한 끝이 생기는 대신 날카롭게 꺾일 뿐이다. 거의 정확한 사이클로이드를 그리는 것은 예를 들어 타이어 홈에 낀 작은 돌이다.

바퀴는 한 바퀴 돌 때 얼마나 나아갈까? 미끄러지지 않는다면 줄자를 풀듯이 바퀴의 둘레 전체가 길 위에 펼쳐진다. 반지름이 r인 원의 둘레는 2π · r이고 $\pi \fallingdotseq 3.14$이므로, 바퀴의 중심은 한 바퀴 돌 때 정확히 2π · r만큼 나아간다. 자전거 바퀴는 둘레가 2 m가 조금 넘으므로 1 km를 가는 동안 거의 오백 바퀴를 돈다.

열차 안에서도 같은 원리가 성립한다. 열차가 곧은 선로를 일정한 속력으로 달릴 때 객차 안에서 사과를 떨어뜨리면 사과는 발 바로 앞으로, 수직으로 떨어진다. 승강장의 사람은 사과가 떨어지면서 동시에 열차와 함께 앞으로 나아가는 것을 보므로, 그 사람에게는 사과가 비스듬한 곡선을 따라 날아간다.

왼쪽은 객차 안의 여러분이 본 사과의 낙하이고, 오른쪽은 승강장의 사람이 본 사과의 낙하이다.

이동 거리

물체가 지나간 운동 경로의 길이를 이동 거리라 하고 s로 나타낸다. 이동 거리는 스칼라, 즉 단위가 붙은 수이다. 자동차의 주행 거리계가 이동 거리를 잰다. 자동차가 곧게 가든, 방향을 바꾸든, 후진하든 달린 1 m 1 m를 모두 더한다. 그래서 이동 거리는 시간이 지나도 결코 줄지 않는다. 집에 돌아왔다고 걸은 거리를 빼 주지는 않는다.

변위

지호는 캠핑장을 나서서 동쪽으로 3 km를 걷고 이어서 북쪽으로 4 km를 걸었다. 모두 7 km를 걸었지만 캠핑장에서는 5 km밖에 떨어져 있지 않았다. 출발한 곳에서 도착한 곳으로 가는 화살표가 지호의 변위이다. 이제 두 물리량에 정확한 이름을 붙일 수 있다. 이동 거리는 7 km였고 변위의 크기는 5 km였다.

변위는 벡터로 쓰면 편하다. 기준계에서 물체의 위치를, 원점에서 물체가 지금 있는 곳으로 가는 화살표로 나타낸다. 이 화살표를 위치 벡터라 하고 $\overrightarrow{r}$로 나타낸다.

그림의 검은 선은 운동 경로이고, 주황색은 물체가 차례로 지나간 두 곳이다. 파란 화살표는 위치 벡터이다. ${\overrightarrow{r}}_1$은 처음에 물체가 있던 곳을, ${\overrightarrow{r}}_2$는 마지막에 물체가 있던 곳을 가리킨다. 그 사이의 운동 경로 부분, 즉 물체가 지나간 이동 거리는 빨간색으로 표시했다. 첫 번째 곳에서 두 번째 곳으로 가는 초록 화살표가 변위이다.

변위는 위치가 얼마나 바뀌었는지를 나타낸다. 물리량의 변화는 기호 앞에 그리스 대문자 Δ(델타)를 붙여 나타내므로 변위는 다음과 같이 쓴다.

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

‘델타 알’이라고 읽고, 전체가 하나의 기호이지 곱이 아니다. 왜 변화일까? 그림을 보자. 파란 화살표 ${\overrightarrow{r}}_1$ 뒤에 초록 화살표를 이어 붙이면 파란 화살표 ${\overrightarrow{r}}_2$가 된다. 벡터는 이렇게 더한다. 두 번째 화살표는 첫 번째 화살표가 끝나는 곳에서 시작한다.

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

양변에서 ${\overrightarrow{r}}_1$을 뺀다.

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

변위는 나중 위치와 처음 위치의 차이이다. 원점 O를 다른 곳에 두면 두 파란 화살표는 모두 바뀌지만 초록 화살표는 그대로이다. 그러니 변위는 원점을 어디에 두느냐와 상관없고, 물체가 어디에서 출발해서 어디에서 멈췄는지에만 달려 있다. 변위의 크기, 즉 초록 화살표의 길이는 $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$로 쓴다.

이동 거리와 변위는 두 가지 점에서 다르다. 이동 거리는 스칼라이고, 변위는 방향도 있는 벡터이다. 그리고 이동 거리는 길 전체를 세지만 변위는 처음과 끝만 본다. 지호가 돌아서 갔든, 가는 길에 두고 온 휴대전화를 가지러 세 번 되돌아갔든 변위는 같다. 두 점을 잇는 가장 짧은 선은 선분이므로 변위의 크기는 결코 이동 거리를 넘지 않는다. $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$이다. 물체가 직선을 따라 움직이고 한 번도 되돌아가지 않을 때에만 둘이 같다.

운동장 한 바퀴

학교 운동장에는 원 모양의 길이 400 m인 트랙이 있다. 서연이 출발선에서 달리기 시작해 트랙을 한 바퀴 돈다. 이동 거리와 변위는 얼마일까?

이동 거리는 분명하다. 운동 경로 전체의 길이가 400 m이므로 s = 400 m이다. 그런데 서연은 출발한 곳으로 정확히 돌아왔다. 처음과 끝이 겹치고, 한 점에서 같은 점으로 가는 화살표는 길이가 없다. 영벡터이다.

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

서연은 400 m를 달렸는데도 변위는 0이다. 출발선에서 꼼짝도 하지 않았어도 변위는 같았을 것이다. 그러니 이동 거리와 변위를 절대 혼동하지 말자.

이번에는 서연이 반 바퀴만 돈다. 이동 거리는 400 m의 절반, 즉 s = 200 m이다. 서연은 원의 반대편, 출발점의 정확히 맞은편에서 멈췄다. 초록 변위 화살표는 원의 중심을 지나므로 그 길이는 지름, 즉 반지름 r의 두 배이다. 반지름은 둘레에서 구한다. 원의 둘레는 2π · r이고 그 길이가 400 m라는 것을 안다.

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

변위의 크기는 반지름의 두 배이다. 분자의 2와 분모의 2가 약분된다.

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

π에 근삿값 3.14를 대입한다.

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\fallingdotseq \frac{400\mathrm{m}}{3.14}\fallingdotseq 127\mathrm{m}$$

반 바퀴를 돈 서연은 200 m를 달렸지만 출발점에서 약 127 m 떨어져 있다. 덧붙이면 트랙의 반지름은 그 절반인 약 63.7 m이다.

4분의 1 바퀴라면 어떨까? 이동 거리는 400 m의 4분의 1, 즉 s = 100 m이다. 이번에는 변위가 중심을 지나지 않고 비스듬히 간다.

출발점과 서연이 새로 도착한 곳을 각각 원의 중심과 잇는다. 서연이 원의 4분의 1을 달렸으므로 두 파란 반지름은 서로 수직이고, 변위와 함께 직각삼각형을 이룬다. 두 반지름은 직각을 낀 변이고 변위는 빗변이다. 지호의 산책에서처럼 피타고라스 정리를 쓴다.

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

제곱근을 구한다. r²의 제곱근은 r이므로 다음과 같다.

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

반지름 63.7 m와 $\sqrt{2}\fallingdotseq 1.414$를 대입한다.

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\fallingdotseq 1.414\cdot 63.7\mathrm{m}\fallingdotseq 90\mathrm{m}$$

세 경우를 모두 모으면 다음과 같다.

이동 거리는 계속 늘어나지만 변위의 크기는 처음에는 늘어나다가 다시 0까지 줄어든다. 서연이 출발점에서 가장 멀리 있는 것은 반 바퀴를 돌았을 때이고, 마지막에는 다시 출발점에 있다.

운동의 종류

운동은 두 가지 기준으로 나눈다. 첫째는 운동 경로의 모양이다. 운동 경로가 직선이면 직선 운동이라고 한다. 엘리베이터나 나무에서 떨어지는 사과가 이렇게 움직인다. 운동 경로가 굽어 있으면 곡선 운동이다. 곡선 운동 가운데 가장 중요한 것은 회전목마나 시계 바늘 끝처럼 원을 따라 움직이는 운동이다.

둘째 기준은 물체가 얼마나 빠르게 움직이느냐이다. 같은 시간 동안 언제나 같은 거리를 가면(1초마다 같은 거리를 가고, 0.1초나 0.01초마다도 같은 거리를 가면) 등속 운동이다. 지하철의 에스컬레이터나 돌고 있는 회전목마가 그렇다. 같은 시간 동안 가는 거리가 다르면, 즉 물체가 빨라지거나 느려지면 속력이 변하는 운동이다. 떨어지는 사과는 점점 빨라지고, 엘리베이터는 출발할 때 빨라지고 층에 닿기 전에 느려지며, 막히는 길의 자동차는 잠깐 기어가다가 잠깐 선다.

두 기준은 마음대로 짝지을 수 있다.

주의하자. 이 분류도 기준계에 따라 달라진다. 일정한 속력으로 달리는 자전거 타는 사람이 보면 공기 주입구는 원을 따라 등속으로 움직인다. 보도에서 보면 공기 주입구의 운동은 곡선 운동이면서 속력이 변하는 운동이다. 길바닥 근처에서는 거의 멈추지만 위쪽에서는 바퀴 중심보다 거의 두 배 빠르게 내달린다. 위쪽에서는 바퀴가 앞으로 가는 운동에 공기 주입구가 중심 둘레를 도는 운동이 더해지는데, 이 운동도 앞쪽을 향하기 때문이다. 반면에 아래쪽에서는 이 운동이 뒤쪽을 향해서 바퀴의 운동을 거의 상쇄한다. 공기 주입구는 언제나 같은 것이고, 다른 곳에서 바라볼 뿐이다.

지금까지는 같은 시간 동안 물체가 가는 거리만 보고 등속 운동과 속력이 변하는 운동을 구별했다. 에스컬레이터가 얼마나 빠르게 움직이는지, 공기 주입구가 아래쪽보다 위쪽에서 얼마나 더 빠르게 내달리는지 말해 주는 수가 아직 없다. 그 수가 바로 속력이고, 다음 글 속력에서 다룬다.