Равномерно праволинейно движение

На магистралата включваш круиз контрола на 108 km/h. Колата сега върви през цялото време със същата скорост, право напред, и стрелката на скоростомера дори не трепва. Колко метра изминава за една секунда? Скоростта ще преобразуваме в метри в секунда, тоест ще разделим на числото 3,6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Всяка секунда колата изминава 30 m. За две секунди 60 m, за три 90 m и така нататък, с всяка секунда с трийсет метра повече.

Вляво виждаме пътя отгоре, колата се движи по него нагоре. Нашата кола оставя зад себе си на пътя всяка цяла секунда оранжева маркировка, например капка боя. Всички маркировки са на еднакво разстояние една от друга, по 30 m, защото колата за всяка секунда изминава един и същ път. Вдясно е графиката. На хоризонталната ос е времето t в секунди, на вертикалната пътят s в метри, който колата е изминала от първата маркировка. Вертикалната ос има същия мащаб като пътя, така че червената точка в графиката стои винаги на същата височина като колата. В анимацията минават шест секунди движение и с всяка секунда на пътя се добавя маркировка и оранжева точка в графиката.

Движението по права, при което големината на скоростта на тялото не се променя, наричаме равномерно праволинейно движение. Праволинейно е движение, чиято траектория е права. Равномерно е такова, при което тялото за еднакви интервали от време изминава еднакви пътища, а това е същото като постоянна големина на моментната скорост. Колата, която върви с постоянна скорост по права, не може да завие, защото би излязла от правата, и не може да се обърне обратно, защото за това трябва да забави до нула. Не се променя следователно и посоката на скоростта ѝ. За разлика от колата на кръгово кръстовище постоянна остава цялата скорост като вектор, тоест и големината, и посоката.

Съвсем точно така не се движи нищо: винаги малко подухва вятър или пътят тръгва нагоре по баир. Колата с круиз контрол по права магистрала, ескалаторът в метрото или влакът по права линия обаче много се доближават до равномерното праволинейно движение.

Формула за пътя

Ако търсиш само формулата, пътят s, който тялото изминава с равномерно движение със скорост v за време t, изчисляваш като

$$s=v\cdot t$$

Извеждаме я от формулата за скоростта $v=\frac{s}{t}$, която вече познаваме. Достатъчно е двете страни да умножим по времето t:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Казано просто: ако колата изминава всяка секунда 30 m, за десет секунди ще измине десет пъти повече. За минута, тоест за 60 s, колата с круиз контрол изминава

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

С мерните единици смятаме като с числа. Секундите в знаменателя се съкращават с тези, по които умножаваме, и остават метри:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Ако ти излязат например метри по секунди, знаеш, че някъде е станала грешка.

Внимавай, формулата s = v · t важи само за равномерно движение. Когато скоростта се колебае, не знаем коя от тях да вземем във формулата. Помага ни само средната скорост, s = v_ср · t. Семейство Иванови са пътували до Бърно със средна скорост 82 km/h в продължение на 2,5 h, така че са изминали 82 km/h · 2,5 h = 205 km, макар скоростомерът им да е показвал какво ли не от нула до сто и трийсет.

Колко ще трае?

Когато формулата s = v · t разделим на скоростта v, получаваме времето:

$$t=\frac{s}{v}$$

От Прага до Бърно води магистрала D1 и е дълга около 205 km. Ако колата беше вървяла целия път с постоянна скорост 100 km/h, пътуването щеше да трае

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Магистралата, разбира се, не е права като линийка, но на формулата това не пречи. Пътят се измерва по траекторията, така че s = v · t важи за всяко равномерно движение, и за колата, която с постоянна скорост минава през завои.

Колко са 2,05 h в часове и минути? Със сигурност не са два часа и пет минути. Часът има шейсет минути, а не сто. Двата цели часа оставяме и останалите пет стотни от часа преобразуваме в минути:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Пътуването би траело 2 h и 3 min.

Остава третата величина, скоростта. Нея изчисляваме с формулата $v=\frac{s}{t}$. Елица кара колело по права велоалея покрай река Марица все с един и същ темп и 6 km изминава за 20 min. Двайсет минути са една трета от часа:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Делението на една трета е същото като умножение по три, затова излезе 6 · 3 = 18. Който не обича дробите, ще преобразува всичко в метри и секунди. Двайсет минути са 20 · 60 s = 1200 s:

$$v=\frac{6000\mathrm{m}}{1200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

И двата пътя дават същото, защото 5 m/s по 3,6 е 18 km/h.

Графиката на пътя е права

Ще запишем пътищата на колата с круиз контрол от началото в таблица:

Всеки ред от таблицата е една точка на графиката: времето отмерваме на хоризонталната ос, пътя на вертикалната. Точно така възникнаха оранжевите точки в анимацията горе. Всички лежат на една права, която излиза от началото. Защо точно на права?

От всяка точка до следващата води едно и също стъпало: една секунда надясно (в синьо) и 30 m нагоре (в червено). Стъпалата са всички еднакво широки и еднакво високи, така че съединителните линии между съседни точки имат еднакъв наклон и се свързват без пречупване. Всички точки следователно лежат на една права линия. Ако колата някъде беше ускорила, там щеше да има по-високо стъпало и линията щеше да се пречупи нагоре. Същото важи и между целите секунди. За половин секунда колата изминава 15 m, за една десета от секундата 3 m и всички тези точки лежат на същата права. Затова графиката чертаем с плътна линия, а не само като седем точки.

Колко е стръмна правата, познаваме по това с колко се вдига, когато се преместим малко надясно. Ширината на стъпалото, тоест промяната на времето, записваме Δt, а височината на стъпалото, промяната на пътя, Δs. Тяхното частно ни дава наклона:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Получи се числото, което вече познаваме: скоростта на колата. Наклонът на графиката на пътя е скоростта. Това е точно формулата $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ за моментната скорост, само че при равномерното движение не е нужно да внимаваме участъкът да е къс. Ако вземем по-голяма част от графиката, наклонът излиза същият. Между първата и петата секунда са минали 4 s и колата за тях е изминала 150 m − 30 m = 120 m:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Математикът би казал, че пътят е линейна функция на времето. Линейните функции се задават с формулата y = a · x + b и графиката им е винаги права. Числото a казва с колко нараства y, когато x нарасне с единица, и се нарича ъглов коефициент. Числото b определя на каква височина правата пресича вертикалната ос. Нашата формула s = v · t е линейна функция, в която вместо x е времето, вместо y пътят, ъгловият коефициент е скоростта и b = 0, така че правата минава през началото. Такава зависимост е права пропорционалност: за два пъти по-дълго време колата изминава два пъти по-дълъг път, за три пъти по-дълго – три пъти по-дълъг.

По-бърза кола, по-стръмна графика

На моста нашата кола с круиз контрол изпреварва камион, който се движи със 72 km/h, тоест

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Времето и пътя на двете превозни средства ще мерим от моста и двете графики ще начертаем на една фигура.

Червената права на колата е по-стръмна от синята права на камиона, защото колата всяка секунда изминава повече. Колкото по-стръмна е графиката на пътя, толкова по-бързо е движението. Ако камионът стоеше, графиката му щеше да е хоризонтална, с нулев наклон.

От графиката могат да се отчитат и стойности, затова сме начертали в нея мрежа. Докъде ще стигне камионът за 3 s? На хоризонталната ос намираме тройката и по прекъснатата линия вървим нагоре, докато стигнем синята права. Оттам се насочваме наляво към вертикалната ос и отчитаме 60 m. Обратно, питаме кога колата ще е на 120 m след моста. На вертикалната ос намираме 120, отиваме надясно до червената права и после надолу към оста на времето: след 4 s. И двете можем да проверим с изчисление:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Вертикалното разстояние между правите показва с колко колата е пред камиона. След шест секунди то е 180 m − 120 m = 60 m. Преднината всяка секунда нараства с 10 m, а това е точно разликата между двете скорости, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Когато колата не започва от нула

Досега мерихме пътя от мястото, където пуснахме хронометъра. Хронометъра обаче често включваме едва когато тялото вече има зад себе си част от пътя. Покрай магистрала D1 стоят километрични стълбчета, стълбове с числа, които показват колко километра е от началото на магистралата в Прага. При Мирошовице колата минава покрай 21-ия километър и от този момент върви с постоянна скорост 90 km/h. На кой километър ще бъде след два часа?

За два часа изминава 90 km/h · 2 h = 180 km. На километричното стълбче обаче няма да пише 180, защото колата не е тръгнала от нула. Смятаме така, като че още в момента, когато пуснахме хронометъра, е имала зад себе си 21 km, защото стълбчето мери от началото на магистралата. Този път се нарича начален път и се означава s₀. Пътя в момент t тогава получаваме, като към началния път прибавим онова, което колата е изминала от пускането на хронометъра:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Заместваме:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

След два часа колата ще е на 201-ия километър. Когато началният път е нула, получаваме първоначалната формула s = v · t.

Графиката вече не започва в началото, а на вертикалната ос на височина s₀ = 21 km, която показва синята отсечка. Наклонът пак е скоростта, за всеки час графиката се вдига с 90 km. Сивата прекъсната права е графиката на кола, която върви със същата скорост, но е тръгнала от началото на магистралата. Двете прави са успоредни, защото имат еднакъв наклон. Червената е само с s₀ по-високо. На езика на линейната функция y = a · x + b числото a е скоростта, а b – началният път.

Нека го обърнем: кога колата ще стигне до 156-ия километър? Примамливо е да разделим 156 на деветдесет, но така ще разберем за колко време би стигнала от началото на магистралата. Тръгваме от формулата и от нея изразяваме времето:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Заместваме:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

До 156-ия километър колата стига за час и половина, тоест за 1 h и 30 min.

Числото от километричното стълбче, строго погледнато, не казва какъв път колата е изминала, а къде е на магистралата. Докато колата върви само напред, това е същото като пътя, който би изминала от началото на магистралата. Защо е важно, ще видим в края на статията.

Графика на скоростта

В графика можем да чертаем и скоростта. Колата с круиз контрол върви все със 30 m/s, независимо от времето, и затова графиката на скоростта ѝ е хоризонтална линия на височина 30.

Пътят не е на никоя от осите на тази графика. Той е скрит в лицето под графиката. Под линията за първите десет секунди се получава червен правоъгълник с ширина 10 s и височина 30 m/s. Лицето му, ширина по височина, е

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Това е точно пътят s = v · t, който колата изминава за десет секунди. Лицето тук не излиза в квадратни метри, а в метри, защото страните на правоъгълника не са дължини, а скорост и време. Белите линии делят правоъгълника на десет ивици, по една за всяка секунда. Всяка има лице 30 m/s · 1 s = 30 m, също както между съседните маркировки на пътя в анимацията в началото има трийсет метра.

Защо да се занимаваме с лице, като е достатъчно да умножим? Защото лицето под графиката на скоростта означава път и когато графиката не е хоризонтална. Когато стигнем до ускореното движение, графиката на скоростта ще се вдига и под нея вместо правоъгълник ще има триъгълник или трапец. Пътят тогава ще изчислим като лицето им и за това стигат формулите за лице на триъгълник и правоъгълник, трапецът може да се раздели на тях.

Стои или се връща?

Огнян сутринта тръгва с колело от къщи по прав път. Два часа се движи с постоянна скорост 20 km/h, после един час обядва в ресторант и накрая със същата скорост се връща вкъщи.

На вертикалната ос този път няма път, а положение. Покрай пътя опъваме оста x и началото поставяме при Огнян вкъщи. Положението x тогава казва колко далече от дома по пътя е Огнян, както километричното стълбче показва къде на пътя е колата. Сивата прекъсната линия е пътят, който Огнян е изминал и който показва километражът на кормилото. До края на обяда съвпада с положението. Червения участък вече познаваме. За два часа Огнян изминава 40 km и графиката се вдига с наклон 20 km/h.

Синият участък е хоризонтален. Времето тече, но Огнян остава на 40 km от дома, следователно стои. Хоризонталната графика означава покой, наклонът е нула и скоростта също.

Зеленият участък се спуска надолу. Огнян се връща и положението му x всеки час намалява с 20 km. Намаляващата графика означава движение назад. Колко бързо кара Огнян, познаваме по това с колко графиката се спуска за час, тук с 20 km, така че се движи със 20 km/h. Скоростта сега има обратна посока от сутринта. Затова физиците понякога ѝ приписват знак минус, който казва, че положението x с времето намалява.

Сега се вижда защо при километричното стълбче разграничавахме къде е тялото и какъв път е изминало. Километражът мери пътя, а той с времето никога не намалява. Прекъснатата линия затова след обяда продължава да расте и вечерта свършва на 80 km, докато графиката на положението свършва на нула, защото Огнян пак е вкъщи. При движение в една посока положението и пътят се различават само с началната стойност и затова при километричното стълбче стигаше формулата за пътя s = s₀ + v · t. Когато тялото се обръща, трябва да смятаме с положението.

Цялата разходка на Огнян не е равномерна, състои се от три равномерни части. Средната скорост за целия ден е целият път, разделен на цялото време, включително с обяда. Целият път не е крайното положение, то е нула. Това са 80 km, където свършва прекъснатата графика, или 40 km + 0 km + 40 km:

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{р}}=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Вертикален участък в графиката никога няма да има. Той би означавал, че Огнян за нулево време се е пренесъл по-нататък. А графика, която се завива наляво, би означавала, че за Огнян времето тече назад. Засега никой не е успял да направи нито едното.

Калкулатор

Първият калкулатор изчислява пътя от скоростта и времето, вторият времето от пътя и скоростта. Предварително попълнените стойности са от примерите в статията: десет секунди с круиз контрол на 108 km/h и пътят от Прага до Бърно с постоянни 100 km/h.

С формулата s = s₀ + v · t и графиката на пътя могат да се решават и текстови задачи, в които една кола настига друга или два влака се движат един срещу друг. Всяко превозно средство има в графиката своя права и мястото, където се срещат, е пресечната точка на правите. До такива задачи ще стигнем.

Преди да се заловим с тях, в статията Как да решаваме задачи по кинематика и динамика ще разгледаме подход, който си струва при всяка физична задача: записване на условието, преобразуване на мерните единици, скица и общо решение.