Скорост

Юсейн Болт пробягва през 2009 г. на световното първенство в Берлин 100 m за 9,58 s. Колко бърз е бил този бяг? Ако през цялото време беше държал един и същ темп, на всяка секунда щяха да се паднат

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

това са над десет метра всяка секунда. А колко е това в километри в час?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

В улица с ограничение 50 km/h Болт би могъл известно време да се движи наравно с колите. Поне на сто метра, по-дълго не би издържал на този темп.

Формула за скоростта

Ако търсиш само формулата, скоростта v изчисляваш, като разделиш пътя s на времето t, за което тялото го е изминало:

$$v=\frac{s}{t}$$

Скоростта показва колко път изминава тялото за единица време, например за секунда или за час. Колкото по-голям е пътят за същото време, толкова по-голяма е скоростта. А когато един и същ път изминаваме по-дълго, скоростта намалява, нали времето стои в знаменателя.

Мерната единица получаваме, като разделим единицата за път на единицата за време. Път в метри и време в секунди дават метри в секунда, m/s. Път в километри и време в часове дават километри в час, km/h. Между двете единици се преобразува с числото 3,6: от m/s в km/h умножаваме, обратно делим.

Средна скорост

Пътят от Прага до Бърно по магистрала D1 е около 205 km. Семейство Иванови са пътували 2,5 h, и то с почивка на бензиностанцията. Колко бързо са пътували тогава?

Да опитаме да пресметнем:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Скоростомерът в колата обаче почти никога не е показвал 82 km/h. На магистралата е показвал около 130 km/h, в задръстването на магистралата 20 km/h, а на бензиностанцията нула. Числото 82 km/h е средната скорост: скоростта, с която колата би трябвало да се движи през цялото време без спиране, за да пристигне в Бърно за същото време. Означаваме я v_ср и я изчисляваме като целия път, разделен на цялото време:

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{р}}=\frac{s}{t}$$

В цялото време влиза всичко, и спирките. Ако семейство Иванови бяха поседели на бензиностанцията с един час повече, пак щяха да изминат същите 205 km, но за 3,5 h, и средната скорост щеше да спадне на

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{р}}=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Средна беше и скоростта на Болт 10,44 m/s от началото. Болт излиза от блоковете от нула, през първите метри тепърва ускорява и така в началото тича по-бавно, а в края по-бързо. При измерването в Берлин участъка между 60-ия и 80-ия метър, тоест 20 m, е пробягал за 1,61 s:

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{р}}=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

На краткия участък във втората половина на състезанието е бил следователно доста по-бърз, отколкото казва средното за цялата стометровка.

Натам 60, обратно 40

Тази задача се дава на контролни и на приемни изпити, защото почти всеки първия път отговаря грешно. Господин Георгиев пътува с кола до вила на 120 km разстояние със скорост 60 km/h. На връщане пътят е задръстен и затова се движи само с 40 km/h. Каква е била средната му скорост по целия път натам и обратно?

Примамливо е да съберем двете скорости и да разделим на две:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Това обаче е грешно. Средната скорост не е средно аритметично от скоростите, а целият път, разделен на цялото време. Затова първо трябва да разберем колко време е пътувал във всяка посока. Натам е изминал 120 km със скорост 60 km/h. От формулата $v=\frac{s}{t}$ изразяваме времето, като умножим двете страни по t и разделим на v:

$$t=\frac{s}{v}$$

Пътят натам е траял

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

а пътят обратно

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Общо е изминал 240 km за 5 h. Средната скорост е

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{р}}=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Господин Георгиев е пътувал със средна скорост 48 km/h, а не 50 km/h. Къде са се загубили два километра в час? Отговорът показва фигурата.

Всеки правоъгълник представя един час път и числото в него показва колко километра е изминал господин Георгиев за него. Пътят натам, в червено, му е отнел два часа, пътят обратно, в синьо, три. И двата пътя са еднакво дълги, 120 km, но с бавната скорост е пътувал по-дълго. Когато пресметнем средното за петте часа, четирийсетте имат три гласа, а шейсетте само два:

$$\begin{array}{rl}{v}_{\mathrm{с}\mathrm{р}}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Зеленият ред показва, че пет часа по 48 km/h дават същите 240 km. Средно 50 km/h би излязло само ако господин Георгиев беше пътувал с двете скорости еднакво дълго, например един час с шейсет и един час с четирийсет. Тук е пътувал еднакво далече, не еднакво дълго, и затова средната се е приближила към по-бавната скорост.

Още по-коварна е същата задача наопаки. Господин Георгиев пътува натам пак със 60 km/h и иска средната скорост за целия път да е 80 km/h. Колко бързо трябва да се движи на връщане? Отговорът 100 km/h се натрапва, но вече знаем, че скоростите не се осредняват така. Целия път от 240 km със средна скорост 80 km/h би изминал за

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Два часа обаче вече е изразходвал по пътя натам. За обратните 120 km му остава само един час, така че трябва да се движи със 120 km/h. А ако искаше средна скорост 120 km/h? Целия път трябва да измине за два часа, а тях вече ги е изразходвал. Обратно трябва да пристигне за нулево време и това е невъзможно, колкото и бързо да кара.

Моментна скорост

Скоростомерът в колата не показва средната скорост за целия път. Показва колко бързо се движи колата точно сега. На това казваме моментна скорост. Но как да я изчислим, когато формулата изисква някакъв път и някакво време, а моментът изобщо няма продължителност?

Ще си помогнем със средната скорост на все по-къс участък. Колата тръгва от светофар и на 100 m по-нататък има лампа. Интересува ни колко бързо се движи колата точно при лампата. До лампата поставяме светлинна бариера, каквато се използва при измерване на времето в леката атлетика, а втора последователно на 100 m, 10 m и 1 m след лампата. Бариерите измерват колко дълго колата е вървяла по всеки участък и от това изчисляваме средната скорост:

На стометровия участък средната скорост е излязла 24,14 m/s. Колата обаче е ускорявала през всичките сто метра, така че в края на участъка се е движела много по-бързо, отколкото при лампата, и средната е излязла по-голяма. На десет метра колата вече успява да ускори по-малко, а на един метър почти никак. Колкото по-къс е участъкът, толкова по-малко се променя скоростта през него и толкова повече средната скорост се приближава до скоростта при лампата. Резултатите се установяват около 20 m/s. На участък 10 cm би излязло 20,005 m/s, на милиметър още малко по-малко. Моментната скорост на колата при лампата е затова 20 m/s, тоест 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Точно това би показвал скоростомерът в този момент.

Моментната скорост следователно получаваме като средна скорост на много къс участък. Частта от пътя, която тялото изминава, записваме Δs, а времето, за което я изминава, Δt. Гръцката буква Δ означава промяна. Тогава

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

където времето Δt трябва да е достатъчно късо, за да не се промени скоростта през него забележимо. Колко късо е достатъчно късо, зависи от движението. Колата, която върви по магистралата с круиз контрол, променя скоростта си за секунда съвсем малко. Колата при удар в стена спира за една десета от секундата.

Равномерно движение е такова, при което тялото за еднакви интервали от време изминава еднакви пътища. Сега можем да го опишем и иначе: това е движение, при което големината на моментната скорост не се променя. Скоростомерът показва все същото число и средната скорост на всеки участък е същата като моментната. При неравномерното движение моментната скорост се променя и средната скорост е само някакво число между най-малката и най-голямата моментна скорост.

За любознателните: производна

Който вече познава граници и производни, ще разбере какво правехме в таблицата. Съкращавахме времето Δt и следяхме към какво се приближава частното $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$. Математикът би казал, че моментната скорост е граница на това частно, тоест производна на пътя по времето:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Колата от таблицата е изминала за време t от светофара път s = 1 m/s² · t², при лампата е била след десет секунди. Производната на t² е 2t, така че

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

а това е точно стойността, към която се приближаваше таблицата. Иначе в цялата категория можем да минем и без производни.

Скоростта като вектор

Колата минава през кръгово кръстовище и скоростомерът през цялото време показва същите 30 km/h. Променя ли се скоростта на колата, или не?

Скоростта е вектор. Не е достатъчно да знаем колко бързо се движи колата, важно е и накъде. Стрелката на скоростта означаваме $\overrightarrow{v}$. Нейната големина $v=|\overrightarrow{v}|$ е това, което показва скоростомерът. Стрелката сочи натам, накъдето тялото се движи в момента.

На фигурата колата върви по сивата прекъсната окръжност обратно на часовниковата стрелка, както се кара на кръгово кръстовище. Червената стрелка показва скоростта ѝ. По-светлите стрелки ${\overrightarrow{v}}_1$ до ${\overrightarrow{v}}_4$ показват скоростта на колата на четири места, винаги през четвърт обиколка. В анимацията колата обикаля кръстовището и стрелката ѝ последователно съвпада с всяка от тях. Стрелката е през цялото време еднакво дълга, защото скоростомерът показва постоянно 30 km/h. Посоката ѝ обаче се променя непрекъснато.

Сега пренасяме и четирите стрелки в една точка. Стрелките можем да местим, ако не ги завъртаме и не променяме дължината им, така че това пак са същите вектори.

И четирите стрелки свършват на една и съща прекъсната окръжност, имат следователно една и съща големина, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Всяка обаче сочи на друга страна, така че това са четири различни вектора, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Отговорът на въпроса е следователно: скоростта на колата се променя, макар скоростомерът да показва все същото. Променя се нейната посока. Скоростомерът показва само големината на скоростта, посоката не вижда.

Равномерното движение разпознавахме по пътищата, а пътят няма посока. Затова за равномерно считаме движение, при което не се променя големината на скоростта. Колата на кръстовището се движи следователно равномерно и въпреки това скоростта ѝ като вектор се променя. Че това е съществена разлика, можеш да усетиш сам в колата: в завой трябва да се подпреш, макар шофьорът да не пипа нито газта, нито спирачката. Защо е така, ще обясним по-късно при ускорението.

Остава да обясним защо стрелката сочи по допирателната, тоест по правата, която само докосва траекторията в дадено място. Връщаме се към средната скорост, този път като вектор. Колата за времето Δt се премества от точка A в друга точка на траекторията. Нейното преместване е стрелката $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ и средната скорост като вектор е

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Внимавай, големината на този вектор в общия случай не е същото като път, разделен на време. Преместването обикновено е по-късо от пътя и с пътя съвпада само на много къс участък.

Да разделим вектор на число значи същото като да го умножим по числото $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. Така стрелката само се скъсява или удължава, посоката ѝ остава, и средната скорост затова сочи като преместването.

Фигурата показва черната траектория, по която колата върви отляво надясно. Зелените стрелки са преместванията от точка A за все по-кратко време, до точки, лежащи все по-близо до A. Дългото преместване сочи косо нагоре, по-късото вече по-малко, и колкото по-кратко е времето, толкова повече стрелката се долепя до сивата прекъсната допирателна. Моментната скорост е средна скорост на много къс участък и затова сочи по допирателната, на фигурата в посоката на червената стрелка.

Допирателната към траекторията дори можеш да видиш. Искрите от ъглошлайфа отлитат от диска по допирателната, в посоката, в която парченцето метал се е движило в момента, когато се е откъснало от диска. Така се държат и капките, които отхвърчат от завъртян чадър. Ако колата на кръстовището попадне на поледица и колелата престанат да държат, ще продължи приблизително право в посоката на стрелката на скоростта си, а не по окръжността.

Колко бързо се движи какво

За представа ето няколко типични скорости, закръглени:

Скоростта на звука в таблицата важи за въздух с температура 20 °C. Звукът е бавен в сравнение със светлината и затова виждаш мълнията преди да чуеш гръмотевицата: светлината стига до теб практически мигновено, звукът изминава километър за около три секунди. Когато между мълнията и гръмотевицата преброиш девет секунди, бурята е на около три километра. Светлината е най-бързата от всички. От Луната до нас стига за малко повече от секунда, а от Слънцето за около осем минути.

Калкулатор

Въведи път и време и калкулаторът ще ти пресметне средната скорост. Предварително попълнените стойности са от пътуването на семейство Иванови до Бърно.

Най-простото е движението, при което скоростта изобщо не се променя, нито по големина, нито по посока. Такова движение е равномерно и праволинейно и на него е посветена следващата статия, Равномерно праволинейно движение.