스칼라와 벡터

“밖은 20 °C이다.” 더 덧붙일 말은 없다. 누구나 겉옷을 챙길지 말지 안다. 온도는 수와 단위로 나타낼 수 있다. 그런데 누군가에게 “100 m 가세요”라고 길을 알려 준다고 해 보자. 그 사람은 바로 물을 것이다. “어디로요? 앞으로요, 왼쪽으로요, 뒤로요?” 북쪽으로 100 m 가면 역이 나오고, 남쪽으로 100 m 가면 연못에 빠진다. 이런 물리량에는 수만으로는 부족하고 방향도 있어야 한다.

스칼라일까, 벡터일까?

수와 단위만으로 완전히 나타낼 수 있는 물리량을 스칼라라고 한다. 온도, 시간, 질량, 이동 거리는 스칼라이다. 가방의 질량이 5 kg이라거나 영화가 2 h 동안 상영된다고 말하면 더 덧붙일 것이 없다. 질량은 왼쪽이나 위쪽을 향하지 않는다.

방향도 중요한 물리량을 벡터라고 한다. 대표적인 벡터는 힘이다. 장롱을 옮겨 본 사람은 장롱을 벽 쪽으로 미는 것과 벽에서 떼어 내는 쪽으로 미는 것이 다르다는 것을 안다. 속도도 벡터이다. 부산 쪽으로 90 km/h로 달리는 자동차와 부산에서 90 km/h로 나오는 자동차는 속도의 크기가 같지만 서로 다른 곳으로 간다.

벡터는 기호 위의 화살표로 알아본다. 벡터로서의 힘은 $\overrightarrow{F}$로 쓴다. 그런데 때로는 방향에는 관심이 없고 힘이 얼마나 큰지만 알고 싶을 때가 있다. 이것을 벡터의 크기라고 하고, 세로 막대를 써서 나타내거나 그냥 화살표 없이 기호만 쓴다.

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

힘의 크기는 스칼라로, 예를 들어 F = 300 N이다. 뉴턴 N은 힘의 단위인데, 지금은 이 이상 알 필요가 없다. 여기서 힘은 주로 벡터의 예로 쓴다.

화살표로 나타낸 벡터

벡터는 화살표로 그린다. 화살표는 벡터가 향하는 쪽을 가리키고, 그 길이는 벡터의 크기에 해당한다. 화살표를 그리려면 축척을 정해야 한다. 예를 들어 종이 위의 1 cm가 100 N을 나타낸다고 정한다. 그러면 300 N의 힘은 길이가 3 cm인 화살표이고, 50 N의 힘은 길이가 0.5 cm인 화살표이다.

그림에는 빨간 화살표가 세 개 있다. 셋 다 길이와 방향이 같으므로 같은 벡터 $\overrightarrow{u}$를 세 곳에 그린 것일 뿐이다. 벡터는 크기와 방향만으로 정해지고, 화살표가 어디에서 시작하는지는 상관없다. 그래서 화살표는 마음대로 평행이동해도 된다. 다만 돌리거나 줄이거나 늘이면 안 된다. 이 사실은 덧셈에서 바로 쓸모가 있다.

파란 화살표 $\overrightarrow{w}$는 빨간 화살표와 길이가 같지만 다른 쪽을 향하므로 다른 벡터이다. 두 벡터의 크기는 같지만, 즉 $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$이지만 $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$이다.

벡터의 덧셈

지호가 캠핑장을 나서서 동쪽으로 3 km를 걷는다. 그다음 방향을 바꿔 북쪽으로 4 km를 더 걷는다. 지호는 캠핑장에서 얼마나 떨어져 있을까?

그림으로 그려 보자. 그림에서 위쪽이 북쪽, 오른쪽이 동쪽이고 한 칸은 1 km이다. 주황색 점이 캠핑장이고, 빨간 화살표가 첫 번째 구간, 파란 화살표가 두 번째 구간이다.

파란 화살표는 캠핑장이 아니라 빨간 화살표의 끝에서 시작한다. 지호는 동쪽으로 걸어간 곳에서부터 북쪽으로 걸었기 때문이다. 벡터는 이렇게 더한다. 두 번째 화살표를 첫 번째 화살표의 끝에서 시작하도록 옮긴다. 그러면 합은 첫 번째 화살표의 시작점에서 두 번째 화살표의 끝점으로 가는 화살표이다. 그림에서는 초록색이고, 지호가 어디에서 멈췄는지를 보여 준다. 애니메이션은 이 과정을 차례로 보여 준다. 파란 화살표가 처음에는 빨간 화살표와 같은 곳에서 출발했다가 빨간 화살표의 끝으로 옮겨 가고, 그다음에 초록 화살표가 나타난다.

벡터 대신 보통의 수를 더하면 3 km + 4 km = 7 km이다. 지호가 7 km를 걸은 것은 맞지만 캠핑장에서 그만큼 떨어져 있지는 않다. 지호는 돌아서 갔고 초록 화살표는 지름길이므로 두 구간을 합친 것보다 짧다.

초록 화살표의 길이는 얼마일까? 빨간 화살표, 파란 화살표, 초록 화살표는 함께 직각삼각형, 즉 한 각이 직각인 삼각형을 이룬다. 직각을 끼고 있는 두 변을 직각을 낀 변이라 하고, 직각과 마주 보는 가장 긴 세 번째 변을 빗변이라고 한다. 직각삼각형에서는 피타고라스 정리가 성립한다. 빗변의 길이의 제곱은 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다. 직각을 낀 두 변의 길이가 3 km와 4 km이므로 빗변 c에 대해 다음이 성립한다.

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

제곱한다. 단위도 제곱하는데, 킬로미터 곱하기 킬로미터는 제곱킬로미터이다.

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

그리고 제곱근을 구한다.

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

지호는 캠핑장에서 5 km 떨어져 있다. 출발한 곳에서 도착한 곳으로 가는 화살표를 물리에서는 변위라고 한다. 걸은 거리와 달리 변위는 벡터이다. 5 km라는 크기뿐 아니라 캠핑장이 어느 방향에 있는지도 알려 준다. 방향은 이 글의 끝에서 다시 다룬다.

합은 수처럼 쓰되 화살표를 붙여 쓴다. 두 벡터 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{w}$를 더하면 새 벡터 $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$를 얻는다. 주의하자. 합의 크기는 일반적으로 크기의 합이 아니다. 지호의 첫 번째 구간을 $\overrightarrow{u}$, 두 번째 구간을 $\overrightarrow{w}$라고 하면 합의 크기는

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

이지만, 크기의 합은 다음과 같다.

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

평행사변형법

개를 산책시키는 사람이 목줄 두 개로 개 두 마리를 데리고 있다. 두 마리가 서로 다른 쪽으로, 한 마리는 힘 ${\overrightarrow{F}}_1$로, 다른 한 마리는 힘 ${\overrightarrow{F}}_2$로 끌고, 두 힘 모두 목줄을 쥔 손에 작용한다. 두 마리가 함께 끄는 방향은 어느 쪽일까?

두 힘은 같은 점에 작용하므로 화살표를 같은 시작점에서 그리는 것이 가장 자연스럽다. 두 힘을 합친 힘은 평행사변형법으로 찾는다. 각 화살표의 끝에서 다른 화살표와 평행한 점선을 긋는다. 그러면 평행사변형이 생기고, 공통인 점에서 나가는 대각선이 구하는 합 $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$이다.

왜 이렇게 될까? 평행사변형의 오른쪽 점선 변은 파란 화살표와 길이가 같고 평행하다. 그러니 점선 변은 파란 화살표 ${\overrightarrow{F}}_2$를 빨간 화살표 ${\overrightarrow{F}}_1$의 끝으로 옮긴 것이다. 앞에서 두 번째 화살표를 첫 번째 화살표의 끝으로 옮긴 것과 같다. 평행사변형을 그리는 방법과 화살표를 이어 붙이는 방법은 언제나 같은 결과를 준다. 화살표를 이어 붙이는 방법은 차례로 일어나는 일(먼저 동쪽으로, 다음에 북쪽으로)에 알맞고, 평행사변형법은 같은 점에 동시에 작용하는 힘에 알맞다.

초록 화살표는 개들이 사람을 끄는 방향을 보여 준다. 이 합쳐진 힘을 알짜힘(합력)이라고 한다. 두 마리가 조금씩 다른 쪽으로 끌기 때문에 알짜힘은 두 마리가 같은 방향으로 끌 때보다 작다. 알짜힘의 크기는 그림에서 축척에 따라 재면 된다. 계산으로 구할 수 있는 것은 지금은 두 경우뿐이다. 두 힘이 서로 수직일 때(지호의 두 구간처럼)와 한 직선 위에 있을 때(바로 아래에서 다룬다)이다.

한 직선 위의 벡터

벡터가 한 직선 위에 있을 때 계산이 가장 쉽다. 두 친구가 고장 난 자동차를 민다. 한 사람은 300 N의 힘으로, 다른 사람은 250 N의 힘으로, 둘 다 앞으로 민다. 화살표를 이어 붙이면 길이가 그냥 두 길이의 합인 화살표가 나온다.

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

빨간 화살표와 파란 화살표는 두 친구의 힘이고, 초록 화살표는 알짜힘이다.

다른 상황도 보자. 줄다리기이다. 한 팀은 오른쪽으로 300 N의 힘으로, 다른 팀은 왼쪽으로 250 N의 힘으로 줄을 당긴다. 두 힘은 줄 가운데의 매듭에 작용하고 정확히 반대쪽을 향한다. 화살표는 매듭에서 서로 반대쪽으로 나가므로 알짜힘은 차이이다.

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

그림에서 첫 번째 팀의 힘은 빨간색, 두 번째 팀의 힘은 파란색, 알짜힘은 초록색이다. 50 N의 알짜힘은 오른쪽, 즉 더 힘센 팀 쪽을 향한다. 두 팀이 똑같이 세게 당기면 알짜힘은 0이 되고 두 힘은 평형을 이룬다. 벡터가 같은 방향이나 정확히 반대 방향을 향할 때에만 그 크기를 보통의 수처럼 더하고 뺄 수 있다.

반대 벡터와 실수배

$\overrightarrow{u}$와 크기가 같고 정확히 반대쪽을 향하는 벡터를 반대 벡터라 하고 $-\overrightarrow{u}$로 쓴다. 아래 그림에서는 파란색이다. 어떤 벡터에 그 반대 벡터를 더하면 출발한 곳으로 돌아오므로 영벡터를 얻는다.

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

힘이 같은 두 팀의 줄다리기가 이렇게 끝난다. 반대 벡터 덕분에 뺄셈도 할 수 있다. $\overrightarrow{w}$를 뺀다는 것은 $-\overrightarrow{w}$를 더한다는 뜻이다. 즉 $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$이다.

벡터에 수를 곱할 수도 있다. 초록 벡터 $2\overrightarrow{u}$는 $\overrightarrow{u}$와 같은 쪽을 향하지만 길이가 두 배이다. 이것은 $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, 즉 같은 화살표 두 개를 이어 붙인 것과 같다. 음수를 곱하면 벡터는 방향까지 바뀐다. 주황 벡터 $-2\overrightarrow{u}$는 길이가 두 배이고 반대쪽을 향한다. 반대 벡터 $-\overrightarrow{u}$는 사실 벡터 $\overrightarrow{u}$에 수 −1을 곱한 것이다.

물리에서 이것은 다음을 뜻한다. 힘을 두 배로 하고 같은 방향으로 작용하게 하면 힘 $2\overrightarrow{F}$를 얻는다. 크기는 두 배가 되고 방향은 그대로이다.

사인과 코사인

비스듬한 벡터는 서로 수직인 두 벡터, 예를 들어 수평 벡터와 수직 벡터로 분해하면 편할 때가 많다. 그러려면 새로운 개념 두 가지, 사인과 코사인을 알아야 한다. 둘 다 직각삼각형에서 나온다.

그림의 삼각형은 꼭짓점 C에서 직각이고, 검은 변 c가 빗변이다. 꼭짓점 A의 각 α를 보자. 빨간 변 a는 이 각과 마주 보고 있으므로 이 각의 높이라고 한다. 파란 변 b는 빗변과 함께 각 α를 끼고 있으며 이 각의 밑변이라고 한다.

각 α의 사인은 높이와 빗변의 길이의 비이고, 코사인은 밑변과 빗변의 길이의 비이다.

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

이런 비가 어디에 쓸모 있을까? 삼각형 전체를 두 배로 키워 보자. 모든 변의 길이는 두 배가 되지만 각의 크기는 그대로이다. 분자와 분모가 모두 두 배가 되므로 비 $\frac{a}{c}$는 바뀌지 않는다. 그래서 사인과 코사인은 그린 삼각형의 크기와는 상관없고 각 α의 크기에만 달려 있다. 공책에 그리든 학교 운동장에 그리든 30°의 사인은 언제나 같다.

직각삼각형에서는 빗변이 가장 긴 변이므로 두 비는 언제나 1보다 작다. 예각의 사인과 코사인은 결코 1을 넘지 않는다.

임의의 각의 사인과 코사인은 계산기로 구한다. 계산기에는 sin과 cos 버튼이 있다. 다만 계산기가 도(°) 단위로 계산하는지 확인하자. 화면에 DEG 대신 RAD나 GRAD가 보이면 다른 각도 단위로 계산하므로 엉뚱한 값이 나온다. 시험에서 가장 흔한 실수 가운데 하나이다. 웹에서는 사인 계산기나 코사인 계산기를 쓸 수 있고, 두 함수의 다른 성질은 사인과 코사인에서 다룬다.

계산기 없이 구하는 세 각

30°, 45°, 60°의 사인과 코사인은 계산기 없이도 구할 수 있다. 정삼각형과 정사각형만 있으면 된다.

왼쪽은 한 변의 길이가 2인 정삼각형이다. 세 각은 모두 60°이다. 점선으로 그린 높이가 정삼각형을 합동인 직각삼각형 두 개로 나눈다. 빨간 삼각형은 빗변이 2, 아래쪽 변이 한 변의 절반이므로 1이고, 높이가 위쪽 각을 이등분하므로 각은 아래가 60°, 위가 30°이다. 높이의 길이는 피타고라스 정리로 구한다. $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$이다. 이제 정의에 대입하면 된다. 30°의 각과 마주 보는 변의 길이는 1이므로 다음과 같다.

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\fallingdotseq 0.866.$$

60°의 각에서는 반대로, 이 각과 마주 보는 변이 길이 $\sqrt{3}$인 높이이다.

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\fallingdotseq 0.866,\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

오른쪽은 한 변의 길이가 1인 정사각형을 대각선으로 나눈 것이다. 대각선은 직각을 이등분하므로 파란 삼각형은 각이 45°이고, 직각을 낀 두 변의 길이가 모두 1이며, 빗변의 길이는 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$이다. 사인과 코사인이 같게 나온다.

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\fallingdotseq 0.707$$

모두 모으면 다음과 같다.

흥미롭게도 30°의 사인은 60°의 코사인이고, 그 반대도 성립한다. 이것은 우연이 아니다. 한 예각과 마주 보는 변은 다른 예각을 끼고 있는 변이기 때문이다.

벡터를 성분으로 분해하기

민준이 눈썰매에 어린 여동생을 태우고 끈다. 줄을 손에 쥐고 있어서 줄은 수평이 아니라 비스듬히 위로 향하고, 땅과 30°의 각을 이룬다. 민준은 100 N의 힘으로 줄을 당긴다. 그런데 썰매는 공중으로 비스듬히 가지 않고 땅 위를 간다. 이 힘 가운데 실제로 앞으로 끄는 부분은 얼마일까?

비스듬한 힘 $\overrightarrow{F}$를 수평인 힘과 수직인 힘의 쌍으로 바꾼다. 이 두 힘을 성분이라 하고, x축과 y축에 따라 ${\overrightarrow{F}}_x$와 ${\overrightarrow{F}}_y$로 나타낸다. 두 성분의 합이 원래 힘과 정확히 같도록 고른다.

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

그림에는 초록 힘 $\overrightarrow{F}$와 그 성분인 빨간 수평 성분, 파란 수직 성분이 있다. 점선으로 직사각형을 완성했다. 오른쪽 점선 변은 파란 성분을 빨간 성분의 끝으로 옮긴 것이므로, 빨간 화살표와 파란 화살표를 이어 붙이면 정말로 초록 화살표가 된다. 평행사변형법을 거꾸로 쓴 것이다. 앞에서는 두 힘으로 하나를 만들었고, 여기서는 하나로 둘을 만든다. 성분이 서로 수직이므로 이 경우 평행사변형은 직사각형이다.

빨간 성분, 오른쪽 점선 변, 초록 힘은 직각삼각형을 이룬다. 빗변은 크기가 F인 힘 $\overrightarrow{F}$이다. 수평 성분은 각 α의 밑변이고, 수직 성분은 높이와 길이가 같다. 사인과 코사인의 정의에서 다음이 성립한다.

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

두 식에 힘의 크기 F를 곱하면 성분의 크기를 구하는 공식을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

민준의 값을 대입하자. 수평 성분은

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \fallingdotseq 100\mathrm{N}\cdot 0.866=86.6\mathrm{N}\end{array}$$

이고 수직 성분은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0.5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

100 N 가운데 썰매를 앞으로 끄는 것은 약 86.6 N뿐이다. 나머지 수직 성분 50 N은 썰매를 조금 들어 올리므로 썰매가 눈을 덜 누른다.

86.6 N + 50 N이 100 N보다 크다는 점에 주목하자. 이것은 잘못이 아니다. 성분은 벡터이므로 수처럼 더하지 않는다. 화살표로, 이어 붙여서만 더할 수 있고, 그러면 원래의 100 N이 된다.

민준이 줄을 더 높이, 60°로 들면 어떻게 될까? 그러면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0.5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

앞으로 끄는 힘은 절반뿐이다. 줄이 가파를수록 앞으로 끄는 힘은 작아지고 썰매를 들어 올리는 힘은 커진다.

성분을 다시 합성하기

지금까지는 힘을 분해했다. 그 반대가 필요할 때도 많다. 서로 수직인 두 성분을 알고 벡터 전체를 구하고 싶을 때이다. 성분은 직각삼각형의 직각을 낀 두 변이고 벡터는 빗변이므로 크기는 피타고라스 정리로 구한다.

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

썰매로 확인해 보자. 성분을 대입한다.

$$F=\sqrt{(86.6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

제곱한다.

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{\mathrm{7,499.56}{\mathrm{N}}^2+\mathrm{2,500}{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{\mathrm{9,999.56}{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

그리고 제곱근을 구한다.

$$F\fallingdotseq 100.0\mathrm{N}$$

원래의 힘이 나왔다. 제곱근 안의 작은 차이는 코사인을 0.866으로 반올림했기 때문에 생겼다.

이제 지호와 그 산책으로 돌아가자. 지호의 변위는 성분이 동쪽으로 3 km, 북쪽으로 4 km이고, 크기는 이미 구한 대로 5 km이다. 남은 것은 방향이다. 초록 화살표가 빨간 화살표, 즉 동쪽 방향과 이루는 각을 α라고 하자. 북쪽 성분 4 km는 이 각과 마주 보고, 빗변은 5 km이다.

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0.8$$

킬로미터가 약분되어 사인은 단위가 없는 보통의 수가 된다. 사인이 0.8인 각은 계산기의 sin⁻¹ 버튼으로 구한다(보통 sin 버튼 위에 있고, 웹에서는 아크사인 계산기를 쓸 수 있다).

$$\alpha \fallingdotseq 53°$$

그러니 지호의 변위는 동쪽에서 북쪽으로 53° 돌아간 방향으로 5 km이다. 크기와 방향, 벡터에는 이것이면 충분하다. 지호가 가장 짧은 길로 돌아가려면 반대 벡터를 따라가면 된다. 반대 방향으로 5 km, 즉 남서쪽으로, 서쪽보다 남쪽에 조금 더 가깝게 가면 된다.

변위는 운동학 전체에서 계속 나온다. 다음 글 운동과 정지에서는 변위를 이동 거리와 비교하고, 운동장을 한 바퀴 돈 달리기 선수가 왜 사실은 조금도 위치가 바뀌지 않았는지 설명한다.