Đại lượng vô hướng và đại lượng vectơ

“Ngoài trời đang 20 °C.” Không cần nói thêm gì nữa, ai cũng biết có nên mang áo khoác hay không. Nhiệt độ được mô tả bằng một con số và một đơn vị. Nhưng thử chỉ đường cho ai đó bằng câu “đi 100 m” xem. Người đó sẽ hỏi ngay: đi đâu? Thẳng, rẽ trái hay quay lại? 100 mét về phía bắc dẫn đến nhà ga, 100 mét về phía nam thì xuống thẳng ao. Với đại lượng như vậy, con số là chưa đủ, ta còn cần cả hướng.

Vô hướng hay vectơ?

Những đại lượng được mô tả đầy đủ bằng một con số kèm đơn vị gọi là đại lượng vô hướng. Nhiệt độ, thời gian, khối lượng hay quãng đường là đại lượng vô hướng. Khi nói túi đồ có khối lượng 5 kg hay bộ phim dài 2 h, ta không cần nói thêm gì nữa. Khối lượng không hướng sang trái hay lên trên.

Những đại lượng mà hướng cũng quan trọng gọi là đại lượng vectơ. Ví dụ điển hình là lực. Ai từng chuyển tủ đều biết đẩy tủ vào tường khác hẳn với kéo tủ ra khỏi tường. Vận tốc cũng là đại lượng vectơ: một ô tô chạy 90 km/h về phía Hà Nội và một ô tô chạy 90 km/h rời Hà Nội có tốc độ như nhau, nhưng mỗi chiếc đi một hướng.

Vectơ được nhận biết nhờ mũi tên phía trên kí hiệu. Lực viết dưới dạng vectơ là $\overrightarrow{F}$. Tuy vậy, đôi khi ta không quan tâm đến hướng mà chỉ muốn biết lực lớn bao nhiêu. Phần này gọi là độ lớn của vectơ, viết bằng hai vạch đứng hoặc đơn giản là kí hiệu không có mũi tên:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Độ lớn của lực là một đại lượng vô hướng, chẳng hạn F = 300 N. Niutơn N là đơn vị của lực, hiện tại ta chưa cần biết thêm về nó. Ở đây lực chủ yếu dùng làm ví dụ về vectơ.

Vectơ là một mũi tên

Vectơ được vẽ bằng một mũi tên. Mũi tên chỉ theo hướng của vectơ, và độ dài của nó ứng với độ lớn của vectơ. Để vẽ được mũi tên, ta chọn một tỉ lệ xích, chẳng hạn 1 xăng-ti-mét trên giấy ứng với 100 N. Khi đó lực 300 N là mũi tên dài 3 xăng-ti-mét, còn lực 50 N chỉ dài nửa xăng-ti-mét.

Trên hình có ba mũi tên màu đỏ. Chúng có cùng độ dài và cùng hướng, nên biểu diễn cùng một vectơ $\overrightarrow{u}$, chỉ là vẽ ở ba chỗ khác nhau. Vectơ chỉ phụ thuộc vào độ lớn và hướng, mũi tên xuất phát từ đâu không quan trọng. Vì vậy ta được phép dời mũi tên đi tuỳ ý, chỉ không được xoay, rút ngắn hay kéo dài nó. Điều này sẽ có ích ngay khi cộng vectơ.

Mũi tên màu xanh dương $\overrightarrow{w}$ dài bằng các mũi tên đỏ nhưng chỉ hướng khác, nên đó là một vectơ khác. Hai vectơ có cùng độ lớn, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, nhưng $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Cộng vectơ

Minh rời căn nhà gỗ, đi 3 km về phía đông. Sau đó rẽ và đi tiếp 4 km về phía bắc. Lúc này Minh cách căn nhà bao xa?

Ta vẽ hình. Trên hình, phía bắc ở trên, phía đông ở bên phải, mỗi ô vuông dài 1 ki-lô-mét. Chấm màu cam là căn nhà, mũi tên đỏ là đoạn đường thứ nhất, mũi tên xanh dương là đoạn thứ hai.

Mũi tên xanh dương không xuất phát từ căn nhà mà từ điểm cuối của mũi tên đỏ. Thật vậy, Minh đi về phía bắc từ chỗ mà mình đã đến sau khi đi về phía đông. Vectơ được cộng như thế: dời mũi tên thứ hai sao cho nó bắt đầu ở điểm cuối của mũi tên thứ nhất. Tổng là mũi tên đi từ điểm đầu của mũi tên thứ nhất đến điểm cuối của mũi tên thứ hai. Trên hình đó là mũi tên xanh lá, chỉ chỗ Minh dừng lại. Hình động minh hoạ từng bước: lúc đầu mũi tên xanh dương xuất phát cùng chỗ với mũi tên đỏ, sau đó dời đến điểm cuối của mũi tên đỏ, rồi mới hiện ra mũi tên xanh lá.

Nếu cộng các con số thay vì cộng vectơ, ta được 3 km + 4 km = 7 km. Đúng là Minh đã đi bộ 7 ki-lô-mét, nhưng Minh không cách căn nhà xa đến thế. Minh đi đường vòng, còn mũi tên xanh lá là đường tắt, nên nó ngắn hơn tổng hai đoạn đường.

Mũi tên xanh lá dài bao nhiêu? Mũi tên đỏ, xanh dương và xanh lá tạo thành một tam giác vuông, tức là tam giác có một góc vuông. Hai cạnh kề góc vuông gọi là cạnh góc vuông, cạnh thứ ba, dài nhất, đối diện với góc vuông, là cạnh huyền. Với tam giác vuông ta có định lí Pythagore: bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Hai cạnh góc vuông dài 3 km và 4 km, nên với cạnh huyền c ta có

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Bình phương lên. Đơn vị cũng được bình phương, ki-lô-mét nhân ki-lô-mét là ki-lô-mét vuông:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Rồi khai căn:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Minh cách căn nhà 5 km. Trong vật lí, mũi tên đi từ chỗ xuất phát đến chỗ kết thúc gọi là độ dịch chuyển. Khác với số ki-lô-mét đã đi bộ, độ dịch chuyển là một vectơ: ngoài con số 5 ki-lô-mét, nó còn cho biết căn nhà nằm theo hướng nào. Ta sẽ trở lại với hướng ở cuối bài.

Tổng được viết giống như với các số, chỉ thêm mũi tên. Cộng hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{w}$, ta được vectơ mới $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Chú ý rằng độ lớn của tổng nói chung không bằng tổng các độ lớn. Nếu gọi đoạn đường thứ nhất của Minh là $\overrightarrow{u}$ và đoạn thứ hai là $\overrightarrow{w}$ thì độ lớn của tổng là

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

còn tổng các độ lớn là

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Quy tắc hình bình hành

Một người dắt hai con chó bằng hai sợi dây. Mỗi con kéo về một phía, một con kéo bằng lực ${\overrightarrow{F}}_1$, con kia bằng lực ${\overrightarrow{F}}_2$, và cả hai lực cùng tác dụng lên bàn tay cầm dây. Hai con chó cùng nhau kéo người đó về phía nào?

Các lực có cùng điểm đặt, nên tự nhiên nhất là vẽ các mũi tên từ điểm chung đó. Hợp lực được tìm bằng quy tắc hình bình hành. Từ điểm cuối của mỗi mũi tên, kẻ một đường nét đứt song song với mũi tên kia. Ta được một hình bình hành, và đường chéo của nó xuất phát từ điểm chung chính là tổng cần tìm $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Vì sao cách này đúng? Cạnh nét đứt bên phải của hình bình hành dài bằng mũi tên xanh dương và song song với nó. Vậy đó chính là mũi tên xanh dương ${\overrightarrow{F}}_2$, chỉ được dời đến điểm cuối của mũi tên đỏ ${\overrightarrow{F}}_1$. Điều này ta đã biết từ phần trước: dời mũi tên thứ hai đến điểm cuối của mũi tên thứ nhất. Hai cách, hình bình hành và nối các mũi tên liên tiếp, luôn cho cùng một kết quả. Nối mũi tên liên tiếp hợp với những quá trình diễn ra lần lượt (trước về phía đông, sau về phía bắc), còn hình bình hành hợp với các lực tác dụng đồng thời tại cùng một điểm.

Mũi tên xanh lá là hợp lực, chỉ hướng mà hai con chó kéo người dắt. Vì mỗi con kéo lệch về một phía, hợp lực nhỏ hơn so với khi cả hai cùng kéo theo một hướng. Độ lớn của nó có thể đo trên hình theo tỉ lệ xích. Hiện tại ta chỉ tính được nó trong hai trường hợp: khi hai lực vuông góc với nhau, như hai đoạn đường của Minh, hoặc khi chúng nằm trên một đường thẳng (xem ngay dưới đây).

Các vectơ trên cùng một đường thẳng

Dễ tính nhất là khi các vectơ nằm trên cùng một đường thẳng. Hai người bạn đẩy một chiếc ô tô bị hỏng. Một người đẩy với lực 300 N, người kia với lực 250 N, cả hai đều đẩy về phía trước. Đặt các mũi tên nối tiếp nhau, ta được một mũi tên có độ dài đơn giản là tổng:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Mũi tên đỏ và xanh dương là lực của hai người bạn, mũi tên xanh lá là hợp lực.

Một tình huống khác: kéo co. Một đội kéo sang phải với lực 300 N, đội kia kéo sang trái với lực 250 N. Cả hai lực tác dụng lên nút thắt ở giữa dây và ngược hướng nhau. Các mũi tên xuất phát từ nút thắt về hai phía ngược nhau, vì vậy hợp lực là hiệu:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Trên hình, lực của đội thứ nhất màu đỏ, của đội thứ hai màu xanh dương, hợp lực màu xanh lá. Hợp lực 50 N hướng sang phải, về phía đội khoẻ hơn. Nếu hai đội kéo mạnh như nhau thì hợp lực bằng 0 và các lực cân bằng nhau. Chỉ khi các vectơ cùng hướng hoặc ngược hướng hẳn nhau thì độ lớn của chúng mới cộng trừ như các số thông thường.

Vectơ đối và nhân vectơ với một số

Vectơ có cùng độ lớn với $\overrightarrow{u}$ nhưng ngược hướng hẳn với nó gọi là vectơ đối, kí hiệu $-\overrightarrow{u}$. Trên hình dưới đây nó có màu xanh dương. Cộng một vectơ với vectơ đối của nó, ta quay về đúng chỗ xuất phát và được vectơ-không:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Trận kéo co giữa hai đội khoẻ như nhau kết thúc đúng như vậy. Nhờ vectơ đối, ta cũng trừ được vectơ: trừ đi $\overrightarrow{w}$ nghĩa là cộng với $-\overrightarrow{w}$, tức là $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Ta cũng có thể nhân vectơ với một số. Vectơ màu xanh lá $2\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$ nhưng dài gấp đôi. Nó chính là $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, hai mũi tên giống nhau đặt nối tiếp. Khi nhân với một số âm, vectơ còn đổi hướng: vectơ màu cam $-2\overrightarrow{u}$ dài gấp đôi và ngược hướng. Vectơ đối $-\overrightarrow{u}$ thực ra là vectơ $\overrightarrow{u}$ nhân với số −1.

Trong vật lí, điều này có nghĩa là: tăng lực lên gấp đôi mà giữ nguyên hướng tác dụng thì ta được lực $2\overrightarrow{F}$. Độ lớn tăng gấp đôi, hướng giữ nguyên.

Sin và côsin

Một vectơ xiên thường nên phân tích thành hai vectơ vuông góc, chẳng hạn một vectơ nằm ngang và một vectơ thẳng đứng. Muốn vậy, ta cần hai khái niệm mới là sin và côsin. Cả hai đều xuất phát từ tam giác vuông.

Tam giác trên hình vuông tại đỉnh C, cạnh huyền là cạnh c màu đen. Xét góc α tại đỉnh A. Cạnh góc vuông a màu đỏ nằm đối diện với góc này nên gọi là cạnh đối. Cạnh góc vuông b màu xanh dương cùng với cạnh huyền tạo thành góc α, nên gọi là cạnh kề.

Sin của góc α là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền, côsin là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Tỉ số như vậy có ích gì? Hãy phóng to cả tam giác lên gấp đôi. Mọi cạnh đều dài gấp đôi, nhưng các góc giữ nguyên. Tỉ số $\frac{a}{c}$ không đổi, vì cả tử số lẫn mẫu số đều tăng gấp đôi. Do đó sin và côsin không phụ thuộc vào kích thước của tam giác được vẽ mà chỉ phụ thuộc vào số đo góc α. Góc 30° luôn có cùng một giá trị sin, dù tam giác được vẽ trong vở hay trên sân trường.

Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh dài nhất, nên cả hai tỉ số luôn nhỏ hơn 1. Sin và côsin của góc nhọn không bao giờ vượt quá 1.

Sin và côsin của một góc bất kì có thể tính bằng máy tính cầm tay, trên đó có phím sin và cos. Nhưng phải chú ý để máy tính tính theo độ. Nếu trên màn hình không có chữ DEG mà là RAD hoặc GRAD thì máy đang tính theo đơn vị đo góc khác và sẽ cho kết quả vô nghĩa. Đây là một trong những lỗi hay gặp nhất trong bài kiểm tra. Trên trang này có thể dùng máy tính sin hoặc máy tính côsin. Các tính chất khác của hai hàm số này có trong bài Sin và côsin.

Ba góc không cần máy tính

Với các góc 30°, 45° và 60°, ta tính được sin và côsin mà không cần máy tính. Chỉ cần một tam giác đều và một hình vuông.

Bên trái là tam giác đều cạnh 2. Mọi góc của nó đều bằng 60°. Đường cao vẽ nét đứt chia nó thành hai tam giác vuông bằng nhau. Tam giác màu đỏ có cạnh huyền 2, cạnh góc vuông phía dưới 1, vì đó là nửa cạnh của tam giác đều, và các góc 60° ở dưới, 30° ở trên, vì đường cao chia đôi góc ở đỉnh. Độ dài đường cao tính theo định lí Pythagore: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Chỉ còn thay vào định nghĩa. Đối diện với góc 30° là cạnh góc vuông 1, nên

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

Với góc 60° thì ngược lại, đối diện với nó là đường cao $\sqrt{3}$:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Bên phải là hình vuông cạnh 1, bị đường chéo chia đôi. Đường chéo chia đôi góc vuông, nên tam giác màu xanh dương có góc 45°, hai cạnh góc vuông dài 1 và cạnh huyền $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Sin và côsin bằng nhau:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Tổng hợp lại:

Điều thú vị là sin 30° bằng côsin 60° và ngược lại. Đây không phải là ngẫu nhiên: cạnh đối của góc nhọn này là cạnh kề của góc nhọn kia.

Phân tích vectơ thành các thành phần

Hùng kéo em gái ngồi trên xe trượt tuyết. Hùng cầm sợi dây trong tay, nên dây không nằm ngang mà chếch lên trên, tạo với mặt đất góc 30°. Hùng kéo dây với lực 100 N. Nhưng xe trượt chạy trên mặt đất chứ không bay chếch lên trời. Bao nhiêu phần của lực đó thực sự kéo xe về phía trước?

Ta thay lực xiên $\overrightarrow{F}$ bằng hai lực, một lực nằm ngang và một lực thẳng đứng. Chúng gọi là các thành phần của lực, kí hiệu ${\overrightarrow{F}}_x$ và ${\overrightarrow{F}}_y$ theo các trục x và y. Ta chọn chúng sao cho tổng của chúng đúng bằng lực ban đầu:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

Trên hình, lực $\overrightarrow{F}$ màu xanh lá, các thành phần của nó là mũi tên nằm ngang màu đỏ và mũi tên thẳng đứng màu xanh dương. Hình chữ nhật được vẽ thêm bằng nét đứt. Cạnh nét đứt bên phải chính là thành phần xanh dương được dời đến điểm cuối của thành phần đỏ, nên mũi tên đỏ và xanh dương nối tiếp nhau đúng là cho mũi tên xanh lá. Đây là quy tắc hình bình hành theo chiều ngược lại: ở trên ta ghép hai lực thành một, ở đây ta tách một lực thành hai. Hình bình hành trong trường hợp này là hình chữ nhật, vì các thành phần vuông góc với nhau.

Thành phần màu đỏ, cạnh nét đứt bên phải và lực màu xanh lá tạo thành một tam giác vuông. Cạnh huyền là lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn F. Thành phần nằm ngang là cạnh kề của góc α, còn thành phần thẳng đứng dài bằng cạnh đối. Theo định nghĩa của sin và côsin, ta có

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Nhân cả hai đẳng thức với độ lớn của lực F, ta được công thức tính độ lớn các thành phần:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Thay số của Hùng. Thành phần nằm ngang là

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

và thành phần thẳng đứng là

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Trong 100 niutơn, chỉ khoảng 86,6 N kéo xe trượt về phía trước. Thành phần thẳng đứng còn lại 50 N hơi nhấc xe lên, nên xe ép xuống mặt tuyết ít hơn.

Để ý rằng 86,6 N + 50 N lớn hơn 100 N. Đó không phải là lỗi: các thành phần là vectơ và không cộng như các số. Chỉ có thể cộng các mũi tên, nối tiếp nhau, và chúng cho lại đúng 100 N ban đầu.

Nếu Hùng nâng dây lên cao hơn, đến góc 60° thì sao? Khi đó

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Lực kéo xe về phía trước chỉ còn một nửa. Dây càng dốc thì phần lực kéo về phía trước càng nhỏ và xe càng được nhấc lên nhiều.

Tổng hợp các thành phần

Đến đây ta đã phân tích lực. Nhiều khi lại cần điều ngược lại: biết hai thành phần vuông góc và muốn tìm cả vectơ. Các thành phần là cạnh góc vuông của một tam giác vuông, còn vectơ là cạnh huyền, nên độ lớn tính theo định lí Pythagore:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Kiểm tra lại với xe trượt. Thay các thành phần vào:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Bình phương lên:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7.499,56{\mathrm{N}}^2+2.500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9.999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Rồi khai căn:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Ta được lại lực ban đầu. Sai lệch nhỏ dưới dấu căn là do đã làm tròn côsin thành 0,866.

Bây giờ có thể quay lại cuộc đi bộ của Minh. Độ dịch chuyển của Minh có các thành phần 3 km về phía đông và 4 km về phía bắc, độ lớn ta đã biết là 5 km. Còn lại là hướng. Gọi α là góc giữa mũi tên xanh lá và mũi tên đỏ, tức là hướng đông. Thành phần 4 km về phía bắc nằm đối diện với góc này, còn cạnh huyền dài 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Ki-lô-mét bị giản ước, sin là một số không có đơn vị. Góc có sin bằng 0,8 được tìm bằng phím sin⁻¹ trên máy tính cầm tay (thường nằm ngay trên phím sin; trên trang này có thể dùng máy tính arcsin):

$$\alpha \approx 53°$$

Vậy độ dịch chuyển của Minh là 5 km theo hướng lệch từ hướng đông về phía bắc một góc 53°. Độ lớn và hướng, vectơ không cần gì hơn. Nếu Minh muốn quay về theo đường ngắn nhất, Minh sẽ đi theo vectơ đối: 5 km theo hướng ngược lại, tức là về phía tây nam, lệch về phía nam nhiều hơn một chút so với phía tây.

Độ dịch chuyển sẽ đi cùng ta trong suốt phần động học. Ở bài tiếp theo, Chuyển động và đứng yên, ta sẽ so sánh nó với quãng đường và giải thích vì sao một vận động viên chạy hết một vòng quanh sân thực ra không dịch chuyển chút nào.