Скаларни и векторни величини

„Навън е 20 °C.“ Не е нужно да се добавя нищо повече, всеки знае дали да си вземе яке. Температурата се описва с число и мерна единица. Но опитай да упътиш някого с изречението „иди 100 m“. Веднага ще те попита: накъде? Направо, наляво, назад? Сто метра на север ще го отведат до гарата, сто метра на юг – право в езерото. На такава величина числото не стига, трябва ни и посока.

Скалар или вектор?

Величините, които се описват напълно с число и мерна единица, се наричат скалари. Скалар е температурата, времето, масата или пътят. Когато кажеш, че торбата има маса 5 kg или че филмът продължава 2 h, не е нужно да добавяш нищо. Масата не сочи наляво, нито нагоре.

Величините, при които има значение и посоката, наричаме вектори. Типичен вектор е силата. Който някога е местил шкаф, знае, че да го буташ към стената е нещо различно от това да го буташ от стената. Вектор е и скоростта: колата, която се движи със 90 km/h към Бърно, и колата, която се движи със 90 km/h от Бърно, имат еднаква по големина скорост и въпреки това всяка отива на друго място.

Векторът се познава по стрелката над означението. Силата като вектор се записва $\overrightarrow{F}$. Понякога обаче посоката не ни интересува и искаме да знаем само колко голяма е силата. Тази част наричаме големина на вектора и я записваме или с вертикални черти, или просто с означението без стрелка:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Големината на силата е скалар, например F = 300 N. Нютонът N е мерната единица на силата, засега няма да ни трябва повече за него. Силата тук ни служи най-вече като пример за вектор.

Векторът като стрелка

Вектора чертаем като стрелка. Тя сочи натам, накъдето сочи векторът, а дължината ѝ отговаря на големината му. За да можем да начертаем стрелката, избираме мащаб, например че един сантиметър на хартията означава 100 N. Тогава силата 300 N е стрелка с дължина три сантиметра, а силата 50 N – само половин сантиметър.

На фигурата виждаме три червени стрелки. Всички те имат еднаква дължина и посока, затова представят един и същ вектор $\overrightarrow{u}$, само че начертан на три различни места. Векторът се определя само от големина и посока, няма значение откъде излиза стрелката. Затова можем свободно да я местим, само не бива да я завъртаме, нито да я скъсяваме или удължаваме. Това веднага ще ни бъде полезно при събирането.

Синята стрелка $\overrightarrow{w}$ е със същата дължина като червените, но сочи другаде, така че това е друг вектор. Двата вектора имат една и съща големина, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, и въпреки това $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Събиране на вектори

Петър тръгва от хижата и изминава 3 km на изток. После завива и изминава още 4 km на север. На какво разстояние от хижата е?

Ще го начертаем. На фигурата северът е горе, изтокът – вдясно, а едно квадратче е един километър. Оранжевата точка е хижата, червената стрелка е първият участък, а синята – вторият.

Синята стрелка не излиза от хижата, а от края на червената. Петър всъщност е вървял на север от мястото, до което е стигнал на изток. Така се събират векторите: втората стрелка преместваме така, че да започва в края на първата. Сборът е стрелката, която води от началото на първата стрелка до края на втората. На фигурата тя е зелена и показва къде е свършил Петър. Анимацията го показва постепенно: синята стрелка първо излиза от същото място като червената, после се премества в края ѝ и едва тогава се появява зелената.

Ако вместо вектори съберем обикновени числа, ще получим 3 km + 4 km = 7 km. Седем километра Петър наистина е извървял, но от хижата не е толкова далече. Вървял е по околен път, зелената стрелка е пряка линия и затова е по-къса от двата участъка заедно.

Колко е дълга зелената стрелка? Червената, синята и зелената заедно образуват правоъгълен триъгълник, тоест триъгълник с един прав ъгъл. Двете страни, които сключват прав ъгъл, се наричат катети, а третата, най-дългата, срещу правия ъгъл, е хипотенузата. За правоъгълния триъгълник важи Питагоровата теорема: квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катетите. Катетите са 3 km и 4 km, така че за хипотенузата c имаме

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Повдигаме на квадрат. На квадрат се повдига и мерната единица, километър по километър е квадратен километър:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

И извличаме корен:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Петър е на 5 km от хижата. Стрелката, водеща от мястото, откъдето сме започнали, до мястото, където сме свършили, във физиката се нарича преместване. За разлика от извървените километри то е вектор: освен петте километра казва и в каква посока е хижата. Към посоката ще се върнем в края на статията.

Сбора можем да запишем както при числата, само със стрелки. Когато съберем два вектора $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{w}$, получаваме нов вектор $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Внимавай, големината на сбора в общия случай не е сбор от големините. Ако първия участък на Петър означим с $\overrightarrow{u}$, а втория с $\overrightarrow{w}$, големината на сбора е

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

докато сборът от големините е

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Правило на успоредника

Човек извежда на каишки две кучета. Всяко дърпа на друга страна, едното със сила ${\overrightarrow{F}}_1$, другото със сила ${\overrightarrow{F}}_2$, и двете сили действат върху ръката, в която държи каишките. Накъде го дърпат кучетата заедно?

Силите действат в една и съща точка, затова стрелките най-естествено чертаем от общо начало. Резултантната сила намираме с правилото на успоредника. От края на всяка стрелка прекарваме с прекъсната линия успоредна на другата. Така се получава успоредник и диагоналът му, излизащ от общата точка, е търсеният сбор $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Защо това работи? Дясната прекъсната страна на успоредника е със същата дължина като синята стрелка и е успоредна на нея. Това е следователно синята стрелка ${\overrightarrow{F}}_2$, само преместена в края на червената ${\overrightarrow{F}}_1$. Това вече го знаем от предишната част: втората стрелка преместихме в края на първата. И двата начина, успоредникът и нареждането на стрелките една след друга, водят винаги до един и същ резултат. Стрелките една след друга са удобни за процеси, които протичат последователно (първо на изток, после на север), а успоредникът – за сили, които действат едновременно в една и съща точка.

Зелената стрелка показва накъде кучетата дърпат човека. Получената сила се нарича още равнодействаща. Тъй като всяко дърпа малко на друга страна, равнодействащата е по-малка, отколкото ако и двете дърпаха в една посока. Големината ѝ измерваме на фигурата според мащаба. Да я изчислим можем засега само в два случая: когато силите са перпендикулярни една на друга, както бяха двата участъка на Петър, или когато лежат на една права (това е веднага по-долу).

Вектори на една права

Най-лесно се смята, когато векторите лежат на една права. Двама приятели бутат развалена кола. Единият бута със сила 300 N, другият със сила 250 N, и двамата напред. Нареждаме стрелките една след друга и получаваме стрелка, чиято дължина е просто сборът:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Червената и синята стрелка са силите на двамата приятели, зелената е равнодействащата.

Друга ситуация: теглене на въже. Единият отбор тегли надясно със сила 300 N, другият наляво със сила 250 N. И двете сили действат върху възела в средата на въжето и сочат точно една срещу друга. Стрелките излизат от възела в противоположни посоки и затова равнодействащата е разликата:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Силата на първия отбор е на фигурата в червено, на втория в синьо, а равнодействащата в зелено. Равнодействащата 50 N сочи надясно, към по-силния отбор. Ако двата отбора теглеха еднакво силно, равнодействащата щеше да е нула и силите щяха да се уравновесят. Само когато векторите сочат в една и съща или в точно противоположна посока, големините им се събират и изваждат като обикновени числа.

Противоположен вектор и умножение по число

Вектор, който има същата големина като $\overrightarrow{u}$, но сочи точно в обратната посока, се нарича противоположен вектор и се записва $-\overrightarrow{u}$. На фигурата по-долу е в синьо. Ако към вектор прибавим противоположния му вектор, се връщаме там, откъдето сме тръгнали, и получаваме нулев вектор:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Така завършва теглене на въже между два еднакво силни отбора. Благодарение на противоположния вектор може и да се изважда: да извадим $\overrightarrow{w}$ значи да прибавим $-\overrightarrow{w}$, тоест $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Вектор можем да умножим и по число. Зеленият вектор $2\overrightarrow{u}$ сочи като $\overrightarrow{u}$, но е два пъти по-дълъг. Това е същото като $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, две еднакви стрелки една след друга. Когато умножаваме по отрицателно число, векторът допълнително обръща посоката си: оранжевият вектор $-2\overrightarrow{u}$ е два пъти по-дълъг и сочи обратно. Противоположният вектор $-\overrightarrow{u}$ е всъщност векторът $\overrightarrow{u}$, умножен по числото −1.

Във физиката това означава: ако удвоим силата и я оставим да действа в същата посока, получаваме сила $2\overrightarrow{F}$. Големината се удвоява, посоката остава.

Синус и косинус

Наклонен вектор често е удобно да се разложи на два перпендикулярни, например на хоризонтален и вертикален. За това трябва да въведем две нови понятия, синус и косинус. И двете произлизат от правоъгълния триъгълник.

Триъгълникът на фигурата има прав ъгъл при върха C, хипотенуза е черната страна c. Разглеждаме ъгъла α при върха A. Червеният катет a лежи срещу него, затова се нарича срещулежащ. Синият катет b сключва ъгъла α заедно с хипотенузата и се нарича прилежащ.

Синусът на ъгъла α е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата, косинусът е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

За какво е добро такова отношение? Увеличи целия триъгълник два пъти. Всички страни ще станат два пъти по-дълги, но ъглите ще останат същите. Отношението $\frac{a}{c}$ не се променя, защото се увеличават два пъти и числителят, и знаменателят. Синусът и косинусът затова не зависят от големината на начертания триъгълник, а само от големината на ъгъла α. Ъгълът 30° има един и същ синус, независимо дали чертаеш триъгълника в тетрадката, или на училищния двор.

Хипотенузата е най-дългата страна в правоъгълния триъгълник, така че и двете отношения винаги излизат по-малки от единица. Синусът и косинусът на остър ъгъл никога не надвишават единица.

Синус и косинус на произволен ъгъл смята калкулаторът, на него има бутони sin и cos. Внимавай обаче калкулаторът да смята в градуси. Ако на дисплея не виждаш DEG, а RAD или GRAD, той смята в други мерни единици за ъгъл и излизат безсмислици. Това е една от най-честите грешки в контролните. На сайта можеш да използваш калкулатора за синус или за косинус. Още свойства на двете функции ще намериш в статията Синус и косинус.

Три ъгъла без калкулатор

За ъглите 30°, 45° и 60° синусът и косинусът могат да се изчислят и без калкулатор. Ще ни стигнат равностранен триъгълник и квадрат.

Вляво виждаме равностранен триъгълник със страна 2. Всички негови ъгли са по 60°. Прекъснатата височина го разделя на два еднакви правоъгълни триъгълника. Червеният има хипотенуза 2, долен катет 1, защото е половината от страната, и ъгли 60° долу и 30° горе, защото височината разполовява горния ъгъл. Дължината на височината намираме с Питагоровата теорема: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Остава да заместим в определенията. Срещу ъгъла 30° лежи катетът 1, така че

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

При ъгъла 60° е обратно, срещу него лежи височината $\sqrt{3}$:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Вдясно е квадрат със страна 1, разделен с диагонал. Диагоналът разполовява правия ъгъл, така че синият триъгълник има ъгъл 45°, и двата катета с дължина 1 и хипотенуза $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Синусът и косинусът излизат еднакви:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Всичко заедно:

Интересно е, че синусът на 30° е косинусът на 60° и обратно. Това не е случайно: срещулежащият катет на единия остър ъгъл е прилежащият катет на другия.

Разлагане на вектор на съставящи

Пешо вози малката си сестра на шейна. Държи въжето в ръка и то не върви хоризонтално, а наклонено нагоре и сключва със земята ъгъл 30°. Пешо го тегли със сила 100 N. Шейната обаче се движи по земята, а не наклонено във въздуха. Колко от тази сила наистина я тласка напред?

Наклонената сила $\overrightarrow{F}$ заместваме с двойка сили, хоризонтална и вертикална. Наричаме ги съставящи и означаваме ${\overrightarrow{F}}_x$ и ${\overrightarrow{F}}_y$ според осите x и y. Избираме ги така, че сборът им да е точно равен на първоначалната сила:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

На фигурата е зелената сила $\overrightarrow{F}$ и нейните съставящи, червената хоризонтална и синята вертикална. С прекъсната линия е допълнен правоъгълник. Дясната прекъсната страна е синята съставяща, преместена в края на червената, така че червената и синята стрелка една след друга наистина дават зелената. Това е правилото на успоредника обратно: там от две сили правехме една, тук от една две. Успоредникът в този случай е правоъгълник, защото съставящите са перпендикулярни една на друга.

Червената съставяща, дясната прекъсната страна и зелената сила образуват правоъгълен триъгълник. Хипотенуза е силата $\overrightarrow{F}$ с големина F. Хоризонталната съставяща е прилежащият катет на ъгъла α, а вертикалната е със същата дължина като срещулежащия катет. От определенията на синус и косинус имаме

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

И двете равенства умножаваме по големината на силата F и получаваме формулите за големините на съставящите:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Заместваме стойностите на Пешо. Хоризонталната съставяща е

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

а вертикалната

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Напред тегли шейната само около 86,6 N от сто. Останалата вертикална съставяща 50 N леко повдига шейната, така че тя натиска снега по-слабо.

Забележи, че 86,6 N + 50 N дава повече от 100 N. Това не е грешка, съставящите са вектори и не се събират като числа. Събират се само стрелките, една след друга, и те дават обратно първоначалните 100 N.

А ако Пешо повдигне въжето по-високо, на 60°? Тогава

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Напред би теглил само с половината от силата. Колкото по-стръмно върви въжето, толкова по-малка част от силата отива напред и толкова повече повдига шейната.

Обратно събиране на съставящите

Досега разлагахме силата. Често е нужно обратното: знаем две перпендикулярни съставящи и искаме целия вектор. Съставящите са катетите на правоъгълен триъгълник, а векторът е неговата хипотенуза, така че големината изчисляваме с Питагоровата теорема:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Ще го проверим със шейната. Заместваме съставящите:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Повдигаме на квадрат:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

И извличаме корен:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Получихме първоначалната сила. Малкото отклонение под корена се дължи на това, че закръглихме косинуса до 0,866.

Сега можем да се върнем към Петър и неговата разходка. Преместването му има съставящи 3 km на изток и 4 km на север, а големината вече знаем, 5 km. Остава посоката. Означаваме с α ъгъла, който зелената стрелка сключва с червената, тоест с посоката на изток. Северната съставяща 4 km лежи срещу него, а хипотенузата е 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Километрите се съкратиха, синусът е обикновено число без мерна единица. Ъгълът, чийто синус е 0,8, калкулаторът намира с бутона sin⁻¹ (обикновено е над бутона sin, а на сайта върши работа калкулаторът за арксинус):

$$\alpha \approx 53°$$

Преместването на Петър е следователно 5 km в посока, която се отклонява от изтока с 53° към севера. Големина и посока, повече на вектора не му трябва. Ако Петър искаше да се върне по най-краткия път, щеше да върви по противоположния вектор: 5 km в обратна посока, тоест на югозапад, малко повече на юг, отколкото на запад.

Преместването ще ни съпътства през цялата кинематика. В следващата статия, Движение и покой, ще го сравним с пътя и ще покажем защо бегачката след цяла обиколка около стадиона всъщност не се е преместила никъде.