Chuyển động thẳng nhanh dần đều

Một chiếc tàu điện đang đứng ở trạm, cửa đóng lại và tàu khởi hành với gia tốc 1 m/s². Mỗi giây tàu chạy nhanh thêm 1 m/s: sau giây thứ nhất là 1 m/s, sau giây thứ hai 2 m/s, sau giây thứ mười 10 m/s. Chuyển động trên đường thẳng với gia tốc không đổi gọi là chuyển động thẳng nhanh dần đều. “Đều” vì vận tốc tăng đều, cứ mỗi giây tăng một lượng như nhau. Không tàu điện hay ô tô nào có gia tốc không đổi hoàn hảo, nhưng ô tô khởi hành khi đèn xanh bật hay hòn đá thả khỏi tay rất gần với chuyển động này.

Vận tốc tại thời điểm bất kì

Sau 7 giây tàu điện chạy với tốc độ bao nhiêu? Chắc bạn sẽ trả lời 7 m/s và bạn đúng. Công thức tổng quát được suy ra từ công thức gia tốc $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Ta bấm đồng hồ vào lúc bắt đầu theo dõi chuyển động, nên khoảng thời gian Δt đơn giản là thời gian t trên đồng hồ. Độ biến thiên vận tốc là v − v₀, trong đó v₀ là vận tốc ban đầu, vận tốc của vật lúc bấm đồng hồ. Nhân cả hai vế với thời gian rồi cộng thêm vận tốc ban đầu:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

Vậy vận tốc tại thời điểm t là

$$v=v_0+a\cdot t$$

Mỗi giây, vận tốc ban đầu được cộng thêm a, nên sau t giây được cộng thêm a · t. Tàu điện khởi hành từ trạng thái đứng yên, v₀ = 0 m/s, và sau 10 giây chạy với tốc độ

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Mét trên giây bình phương nhân với giây cho mét trên giây, đơn vị khớp. Ta đổi ra ki-lô-mét trên giờ bằng cách nhân với 3,6.

Đồ thị vận tốc là đường thẳng

Công thức v = v₀ + a · t trông giống hệt s = s₀ + v · t, công thức quãng đường khi tốc độ không đổi. Đó là hàm số bậc nhất y = a · x + b, chỉ có điều thời gian thay cho x, vận tốc thay cho y, hệ số góc là gia tốc và b là vận tốc ban đầu. Vì vậy đồ thị vận tốc là một đường thẳng.

Đường thẳng màu đỏ là của tàu điện, nó xuất phát từ gốc toạ độ và mỗi giây đi lên 1 m/s. Đường màu xanh dương là của một ô tô đang lẽo đẽo sau máy kéo với tốc độ 10 m/s, tức là 36 km/h. Người lái hết kiên nhẫn, tăng ga và muốn vượt máy kéo. Lúc này ô tô có gia tốc 2 m/s². Đồ thị của nó bắt đầu trên trục thẳng đứng ở độ cao v₀ = 10 m/s và đi lên dốc gấp đôi đồ thị của tàu điện. Độ dốc của đồ thị vận tốc là gia tốc, giống như độ dốc của đồ thị quãng đường là tốc độ.

Quãng đường là diện tích dưới đồ thị

Khi vượt, ô tô đi được bao nhiêu mét? Với tốc độ không đổi, quãng đường ẩn trong diện tích dưới đồ thị vận tốc. Ở đó đồ thị nằm ngang và phần dưới nó là một hình chữ nhật. Điều đó có còn đúng với đồ thị đi lên không? Ta cắt thời gian thành những dải mỏng, chẳng hạn mỗi dải một phần trăm giây. Trong một phần trăm giây, vận tốc của ô tô chỉ thay đổi 0,02 m/s, nên trong mỗi dải ô tô chạy với tốc độ gần như không đổi và đi được một quãng bằng diện tích của dải, chiều cao nhân chiều rộng. Dải càng mỏng thì điều này càng chính xác. Cộng quãng đường của mọi dải lại, ta được toàn bộ diện tích dưới đồ thị.

Dưới đồ thị vận tốc là một hình thang. Đường nét đứt nằm ngang cắt nó thành một hình chữ nhật màu xanh dương và một tam giác màu đỏ. Hình chữ nhật màu xanh dương rộng t và cao v₀. Diện tích của nó, v₀ · t, ứng với quãng đường mà ô tô sẽ đi nếu hoàn toàn không tăng tốc.

Tam giác màu đỏ là phần thưởng cho việc tăng tốc, quãng đường đi thêm so với khi chạy với tốc độ ban đầu. Đó là tam giác vuông, một cạnh góc vuông là thời gian t, cạnh kia là độ tăng vận tốc Δv = a · t. Tam giác như vậy bằng một nửa hình chữ nhật có cùng các cạnh, nên diện tích của nó là

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Hình chữ nhật và tam giác cộng lại cho quãng đường của chuyển động thẳng nhanh dần đều:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Khi vật khởi hành từ trạng thái đứng yên, hình chữ nhật biến mất và chỉ còn tam giác, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Trong 10 giây, tàu điện đi được

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Giây bình phương giản ước, còn lại mét.

Ta dễ nghĩ đến cách tính đơn giản hơn, s = v · t với vận tốc lúc cuối: 10 m/s · 10 s = 100 m. Kết quả gấp đôi, vì tàu điện chỉ đạt 10 m/s ở đúng lúc cuối. Trên đồ thị, thay vì tam giác ta đã đo cả hình chữ nhật, mà diện tích của nó lớn gấp đôi.

Vượt máy kéo

Bây giờ ta đi qua toàn bộ quá trình vượt, từng bước một. Ô tô tăng tốc trong 5 giây. Sau đó nó chạy nhanh thế nào và trong thời gian đó đi được bao nhiêu mét? Trước hết là tóm tắt:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Đơn vị đều là đơn vị cơ bản và các công thức tổng quát đã có. Trước hết thay số vào công thức vận tốc:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Rồi vào công thức quãng đường:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Như vậy hình chữ nhật màu xanh dương trên hình có diện tích 50 m, còn tam giác màu đỏ là 25 m. Kết quả có hợp lí không? Nếu ô tô chạy suốt với tốc độ ban đầu 10 m/s thì sẽ đi được 50 m, nếu chạy suốt với tốc độ cuối 20 m/s thì đi được 100 m. Kết quả nằm giữa hai giá trị đó. Trong 5 giây, ô tô tăng tốc lên 72 km/h và đi được 75 m.

Trong lúc đó máy kéo vẫn đi 10 m/s và đi được 50 m, đúng bằng hình chữ nhật màu xanh dương. Như vậy sau 5 giây ô tô đã bỏ máy kéo lại 25 m, đúng bằng diện tích tam giác màu đỏ. Nếu máy kéo kéo theo một rơ-moóc dài thì người lái phải tăng tốc lâu hơn.

Tốc độ trung bình nằm đúng chính giữa

Diện tích hình thang cũng tính được một lần: trung bình cộng hai cạnh đáy nhân với chiều cao. Hai cạnh đáy ở đây là v₀ và v, chiều cao là thời gian:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Nhưng quãng đường cũng viết được dưới dạng tốc độ trung bình nhân thời gian, s = v_tb · t. Vì vậy với chuyển động thẳng nhanh dần đều ta có

$$v_{\mathrm{tb}}=\frac{v_0+v}{2}.$$

Tốc độ trung bình nằm đúng chính giữa tốc độ ban đầu và tốc độ lúc cuối. Với ô tô, đó là 15 m/s, và 15 m/s · 5 s lại bằng 75 m. Điều này chỉ đúng vì đồ thị vận tốc là đường thẳng. Trong các trường hợp khác, tốc độ trung bình không nhất thiết nằm chính giữa, chẳng hạn trong chuyến đi 60, về 40.

Khoảng cách theo tỉ lệ 1 : 3 : 5 : 7

Khi một ô tô đang khởi hành để lại một dấu sau mỗi giây, khoảng cách giữa các dấu tăng theo tỉ lệ 1:3:5:7:9. Trên đồ thị vận tốc, điều này thấy được ngay.

Ta cắt phần diện tích dưới đồ thị của tàu điện thành các dải 1 giây, xen kẽ màu đỏ và xanh dương. Diện tích mỗi dải là quãng đường tàu điện đi được trong giây đó. Các vạch trắng chia phần diện tích thành những tam giác nhỏ bằng nhau, mỗi tam giác bằng nửa ô vuông 1 s nhân 1 m/s. Trong dải thứ nhất có 1 tam giác nhỏ, dải thứ hai có 3, dải thứ ba có 5 và dải thứ tư có 7. Mỗi dải sau cao hơn dải trước một ô vuông, vì vậy có thêm 2 tam giác nhỏ. Quãng đường đi được trong từng giây, và cùng với chúng là khoảng cách giữa các dấu, tỉ lệ với 1:3:5:7.

Cộng các dải lại, ta được quãng đường tính từ lúc xuất phát: sau 1 giây là 1 tam giác nhỏ, sau 2 giây là 1 + 3 = 4, sau 3 giây là 1 + 3 + 5 = 9, sau 4 giây là 16. Lần nào cũng ra bình phương của số giây, đúng như công thức $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Gia tốc khác sẽ làm đồ thị dốc hơn hoặc thoải hơn, nhưng số tam giác nhỏ vẫn như cũ.

Đồ thị quãng đường là parabol

Ghi quãng đường của tàu điện $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ sau mỗi giây tròn. Sau 1 giây tàu đi được 0,5 m, sau 2 giây 2 m, sau 3 giây 4,5 m, sau 4 giây 8 m và sau 10 giây 50 m. Thời gian dài gấp đôi cho quãng đường dài gấp 4, thời gian gấp ba cho quãng đường gấp 9, vì trong công thức thời gian được bình phương.

Các điểm không còn nằm trên một đường thẳng mà trên một đường cong gọi là parabol. Vì sao nó cong lên trên? Độ dốc của đồ thị quãng đường là tốc độ, mà tốc độ của tàu điện liên tục tăng. Lúc đầu tàu đứng yên và đồ thị nằm ngang, sau đó ngày càng dốc. Đường thẳng nét đứt màu xám là đồ thị của chuyển động có tốc độ không đổi bằng tốc độ trung bình 5 m/s, sau 10 giây kết thúc ở cùng một điểm. Tàu điện lúc đầu tụt lại phía sau, về cuối thì bù lại phần đã mất.

Nhà toán học sẽ nói rằng quãng đường là hàm số bậc hai của thời gian, vì trong đó có thời gian bình phương. Đồ thị của mọi hàm số bậc hai là parabol, kể cả với ô tô không khởi hành từ trạng thái đứng yên. Tuy nhiên đồ thị $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ của nó không bắt đầu nằm ngang. Lúc đầu ô tô đã chạy 10 m/s, vì thế đồ thị đi ra từ gốc toạ độ với độ dốc 10 m/s ngay từ đầu, rồi ngày càng dốc hơn. Có thể tìm hiểu thêm về parabol ở bài hàm số bậc hai.

Vận tốc không cần thời gian

Tàu điện tăng tốc lên 50 km/h mất khoảng 14 giây. Trong lúc đó nó đi được bao nhiêu mét? Có thể tính qua thời gian, nhưng cũng có thể không cần đến thời gian: có một công thức trong đó hoàn toàn không có thời gian. Từ công thức v = v₀ + a · t, ta rút thời gian ra, $t=\frac{v-v_0}{a}$, rồi thay vào công thức với tốc độ trung bình:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

Ở tử số, ta nhân phá ngoặc và các số hạng ở giữa triệt tiêu nhau:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Vậy $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Nhân cả hai vế với 2 · a rồi cộng thêm $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Kiểm tra với ô tô: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², và đó đúng là (20 m/s)².

Tàu điện khởi hành từ trạng thái đứng yên, nên v² = 2 · a · s và quãng đường là $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Ta không làm tròn tốc độ mà thay nó vào công thức dưới dạng phân số:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Để lên được 50 km/h, tàu điện cần gần 100 mét đường ray.

Các công thức này cũng dùng được cho chuyển động chậm dần đều khi phanh, chỉ khác là gia tốc âm, nếu chiều dương là chiều chuyển động. Khi ô tô phanh đến lúc dừng hẳn, vận tốc lúc cuối bằng 0, và hệ thức $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ cho biết nó cần bao nhiêu mét để dừng lại. Đó là quãng đường phanh, tăng theo tốc độ nhanh hơn nhiều so với mong muốn của các tài xế.

Thực tế ô tô cần bao nhiêu mét, khi cộng vào quãng đường phanh cả khoảng thời gian trước khi người lái kịp đạp phanh, và vì sao ô tô chạy nhanh gấp đôi lại cần quãng đường phanh dài gấp 4, ta sẽ tính ở bài tiếp theo, Phanh và quãng đường phanh.