등가속도 직선 운동

역에 서 있던 전철의 문이 닫히고, 전철이 가속도 1 m/s²으로 출발한다. 전철은 1초마다 1 m/s씩 빨라진다. 1초 뒤에는 1 m/s, 2초 뒤에는 2 m/s, 10초 뒤에는 10 m/s로 달린다. 가속도가 일정하게 유지되는 직선 위의 운동을 등가속도 직선 운동이라고 한다. 가속도가 일정하므로 속도가 고르게, 즉 1초마다 같은 만큼씩 늘어난다. 가속도가 완벽하게 일정한 전철이나 자동차는 없지만, 초록불에 출발하는 자동차나 손에서 놓은 돌은 이 운동에 매우 가깝다.

어느 순간의 속도

7초 뒤에 전철은 얼마나 빠르게 달릴까? 아마 7 m/s라고 답할 것이고, 그 답은 맞는다. 일반적인 공식은 가속도의 공식 $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ 에서 이끌어 낸다. 운동을 관찰하기 시작하는 순간 스톱워치를 누르면 시간 Δt는 간단히 스톱워치의 시간 t이다. 속도의 변화량은 v − v₀인데, 여기서 v₀은 스톱워치를 누른 순간 물체가 가진 처음 속도이다. 양변에 시간을 곱하고 처음 속도를 더한다.

$\begin{array}{rcl} a & = & \frac{v - v_{0}}{t} / \cdot t \\ a \cdot t & = & v - v_{0} / + v_{0} \\ v_{0} + a \cdot t & = & v \end{array}$

따라서 시간 t일 때의 속도는 다음과 같다.

$v = v_{0} + a \cdot t$

처음 속도에 1초마다 a씩 더해지므로 t초 동안에는 a · t가 더해진다. 전철은 정지 상태에서 출발하므로 v₀ = 0 m/s이고, 10초 뒤의 속도는 다음과 같다.

$v = 1 {m / s}^{2} \cdot 10 s = 10 m / s = 36 km / h .$

미터 매 초 제곱에 초를 곱하면 미터 매 초가 되므로 단위가 맞는다. 킬로미터 매 시로는 수 3.6을 곱해서 바꾸었다.

속도-시간 그래프는 직선이다

공식 v = v₀ + a · t는 속력이 일정할 때의 이동 거리 공식 s = s₀ + v · t와 생김새가 같다. 일차함수 y = a · x + b에서 x 대신 시간, y 대신 속도를 쓰고, 기울기가 가속도, b가 처음 속도인 것뿐이다. 그래서 속도-시간 그래프는 직선이다.

정지 상태에서 출발하는 전철(빨강)과 처음 속도 v_0을 가지고 더 큰 가속도로 빨라지는 자동차(파랑)의 속도-시간 그래프

빨간 직선은 전철의 그래프로, 원점에서 시작해 1초에 1 m/s씩 올라간다. 파란 직선은 트랙터 뒤에서 10 m/s, 즉 36 km/h로 느릿느릿 따라가던 자동차의 그래프이다. 참다못한 운전자가 가속 페달을 밟고 트랙터를 앞지르려 한다. 이제 자동차의 가속도는 2 m/s²이다. 그래프는 세로축의 높이 v₀ = 10 m/s에서 시작해 전철의 그래프보다 2배 가파르게 올라간다. 이동 거리 그래프의 기울기가 속도인 것처럼 속도-시간 그래프의 기울기는 가속도이다.

이동 거리는 그래프 아래의 넓이이다

자동차는 앞지르는 동안 몇 미터를 갈까? 속력이 일정할 때 이동 거리는 속력 그래프 아래의 넓이에 숨어 있다. 그때 그래프는 수평이고 그 아래는 직사각형이다. 올라가는 그래프에서도 이것이 성립할까? 시간을 얇은 띠로, 예를 들어 0.01초씩 자른다. 0.01초 동안 자동차의 속력은 0.02 m/s밖에 변하지 않으므로, 띠 하나에서 자동차는 거의 일정한 속력으로 달리고 띠의 넓이, 즉 높이 곱하기 너비만큼 간다. 띠가 얇을수록 더 정확해진다. 모든 띠의 이동 거리를 더하면 그래프 아래의 넓이 전체가 된다.

자동차의 속도-시간 그래프 아래의 넓이는 사다리꼴이고, 직사각형(파랑)과 삼각형(빨강)으로 나뉜다. 왼쪽은 처음 속도 v_0, 오른쪽은 속도의 증가량 Δv

속도-시간 그래프 아래는 사다리꼴이다. 수평인 점선이 이것을 파란 직사각형과 빨간 삼각형으로 나눈다. 파란 직사각형은 너비가 t, 높이가 v₀이다. 그 넓이 v₀ · t는 자동차가 전혀 빨라지지 않았을 때 갔을 이동 거리이다.

빨간 삼각형은 빨라진 덕분에 얻은 몫, 즉 처음 속력으로 달렸을 때보다 더 간 거리이다. 이 삼각형은 직각삼각형이고, 직각을 낀 한 변은 시간 t, 다른 한 변은 속도의 증가량 Δv = a · t이다. 이런 삼각형은 변의 길이가 같은 직사각형의 절반이므로 넓이는 다음과 같다.

$\frac{1}{2} \cdot t \cdot a \cdot t = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} .$

직사각형과 삼각형을 합하면 등가속도 직선 운동의 이동 거리가 된다.

$s = v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$

물체가 정지 상태에서 출발하면 직사각형은 사라지고 삼각형만 남아 $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ 이다. 전철이 10초 동안 가는 거리는 다음과 같다.

$s = \frac{1}{2} \cdot 1 {m / s}^{2} \cdot (10 s)^{2} = 50 m .$

초 제곱은 약분되고 미터가 남는다.

나중 속력을 써서 s = v · t로 더 간단히 계산하고 싶어진다. 그러면 10 m/s · 10 s = 100 m이다. 2배나 많은 값인데, 전철이 10 m/s로 달린 것은 맨 마지막뿐이기 때문이다. 그래프에서 삼각형 대신 직사각형 전체를 잰 셈이고, 직사각형의 넓이는 2배이다.

트랙터 앞지르기

이제 앞지르기 전체를 한 단계씩 따라가 보자. 자동차는 5초 동안 빨라진다. 그 뒤에 자동차는 얼마나 빠르게 달리고, 그동안 몇 미터를 갈까? 먼저 조건을 적는다.

$\begin{aligned} v_{0} & = 10 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ t & = 5 s \\ v & = ?, s = ? \end{aligned}$

단위는 기본 단위이고 일반적인 공식도 이미 있다. 먼저 속도의 공식에 수를 넣는다.

$v = 10 m / s + 2 {m / s}^{2} \cdot 5 s = 20 m / s = 72 km / h$

그리고 이동 거리의 공식에 넣는다.

$\begin{aligned} s & = 10 m / s \cdot 5 s + \frac{1}{2} \cdot 2 {m / s}^{2} \cdot (5 s)^{2} \\ = 50 m + 25 m = 75 m \end{aligned}$

그러니 그림의 파란 직사각형의 넓이는 50 m, 빨간 삼각형의 넓이는 25 m이다. 결과가 그럴듯할까? 자동차가 내내 처음 속력 10 m/s로 달렸다면 50 m를, 내내 나중 속력 20 m/s로 달렸다면 100 m를 갔을 것이다. 결과는 이 두 값 사이에 있다. 자동차는 5초 만에 72 km/h까지 빨라지고 75 m를 간다.

그동안 트랙터는 10 m/s로 계속 달려서 파란 직사각형과 같은 50 m를 갔다. 그러니 자동차는 5초 동안 트랙터보다 25 m, 즉 빨간 삼각형의 넓이만큼 더 앞서 나갔다. 트랙터가 긴 트레일러를 끌고 있었다면 운전자는 더 오래 가속 페달을 밟아야 했을 것이다.

평균 속력은 한가운데에 있다

사다리꼴의 넓이는 한 번에 구할 수도 있다. 평행한 두 변의 평균에 높이를 곱하면 된다. 여기서 평행한 두 변은 v₀과 v이고, 높이는 시간이다.

$s = \frac{v_{0} + v}{2} \cdot t$

그런데 이동 거리는 평균 속력에 시간을 곱한 $s = \bar{v} \cdot t$ 로도 쓸 수 있다. 그래서 등가속도 직선 운동에서는 다음이 성립한다.

$\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2} .$

평균 속력은 처음 속력과 나중 속력의 한가운데에 있다. 자동차라면 15 m/s이고, 15 m/s · 5 s는 역시 75 m이다. 이 관계는 속도-시간 그래프가 직선이기 때문에만 성립한다. 다른 경우에는 평균 속력이 한가운데에 있지 않을 수 있다. 갈 때 60, 올 때 40 문제가 그 예이다.

간격의 비 1 : 3 : 5 : 7

출발하는 자동차가 1초마다 표시를 남기면 표시 사이의 간격은 1:3:5:7:9의 비로 늘어난다. 속도-시간 그래프에서는 이것이 한눈에 보인다.

전철의 속도-시간 그래프 아래 4초 동안의 삼각형을 1초씩의 띠와 크기가 같은 작은 삼각형으로 나누었다. 띠에 들어 있는 작은 삼각형은 차례로 1개, 3개, 5개, 7개이다

전철의 그래프 아래 넓이를 1초씩의 띠로 잘라 빨강과 파랑을 번갈아 칠했다. 띠 하나의 넓이는 전철이 그 1초 동안 간 거리이다. 흰 선은 넓이를 크기가 같은 작은 삼각형으로 나누는데, 하나하나가 1 s 곱하기 1 m/s인 작은 정사각형의 절반이다. 첫째 띠에는 작은 삼각형이 1개, 둘째에는 3개, 셋째에는 5개, 넷째에는 7개 있다. 다음 띠는 작은 정사각형 하나만큼 더 높으므로 작은 삼각형이 2개씩 늘어난다. 1초마다 가는 거리, 그리고 표시 사이의 간격은 1:3:5:7의 비를 이룬다.

띠를 차례로 더하면 출발점에서부터의 이동 거리가 된다. 1초 뒤에는 작은 삼각형 1개, 2초 뒤에는 1 + 3 = 4개, 3초 뒤에는 1 + 3 + 5 = 9개, 4초 뒤에는 16개이다. 언제나 초의 수의 제곱이 나오는데, 이것은 공식 $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ 그대로이다. 가속도가 다르면 그래프가 더 가파르거나 더 완만해지지만, 작은 삼각형의 개수는 그대로이다.

이동 거리 그래프는 포물선이다

전철의 이동 거리 $s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ 을 1초마다 적어 보자. 1초 동안 0.5 m, 2초 동안 2 m, 3초 동안 4.5 m, 4초 동안 8 m, 10초 동안 50 m를 간다. 시간이 2배가 되면 이동 거리는 4배, 시간이 3배가 되면 9배가 된다. 공식에서 시간이 제곱되기 때문이다.

전철의 이동 거리 그래프는 포물선(빨강)이고, 주황색 점은 1초마다의 값이다. 회색 점선은 평균 속력으로 일정하게 달리는 운동의 그래프이다

점들은 이제 직선 위가 아니라 포물선이라는 굽은 선 위에 있다. 왜 위로 휘어질까? 이동 거리 그래프의 기울기는 속력이고, 전철의 속력은 쉬지 않고 늘어난다. 처음에 전철은 서 있으므로 그래프가 수평이고, 그 뒤로 점점 가팔라진다. 회색 점선은 평균 속력 5 m/s로 일정하게 달리는 운동의 그래프로, 10초 뒤에 같은 점에 이른다. 전철은 처음에 뒤처지다가 끝으로 갈수록 그만큼을 따라잡는다.

수학적으로 말하면 이동 거리는 시간의 이차함수이다. 시간의 제곱이 들어 있기 때문이다. 이차함수의 그래프는 모두 포물선이고, 정지 상태에서 출발하지 않는 자동차도 마찬가지이다. 다만 그 그래프 $s = v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ 은 수평으로 시작하지 않는다. 자동차는 처음부터 10 m/s로 달리므로 그래프는 원점에서 곧바로 기울기 10 m/s로 시작하고, 그 뒤로 점점 가파르게 올라간다. 포물선에 대해서는 이차함수에서 더 자세히 다룬다.

시간이 없는 공식

전철은 약 14초 만에 50 km/h까지 빨라진다. 그동안 몇 미터를 갈까? 시간을 거쳐 계산할 수도 있지만, 시간 없이도 구할 수 있다. 시간이 전혀 들어 있지 않은 공식이 있기 때문이다. 공식 v = v₀ + a · t에서 시간을 나타내면 $t = \frac{v - v_{0}}{a}$ 이고, 이것을 평균 속력으로 나타낸 공식에 넣는다.

$\begin{aligned} s & = \frac{v + v_{0}}{2} \cdot \frac{v - v_{0}}{a} \\ = \frac{(v + v_{0}) \cdot (v - v_{0})}{2 \cdot a} \end{aligned}$

분자의 괄호를 전개하면 가운데의 두 항이 서로 지워진다.

$\begin{aligned} (v + v_{0}) \cdot (v - v_{0}) & = v^{2} - v \cdot v_{0} + v_{0} \cdot v - v_{0}^{2} \\ = v^{2} - v_{0}^{2} \end{aligned}$

따라서 $s = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 \cdot a}$ 이다. 양변에 2 · a를 곱하고 $v_{0}^{2}$ 을 더한다.

$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot s$

자동차로 확인해 보자. (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s²이고, 이 값은 정말로 (20 m/s)²이다.

전철은 정지 상태에서 출발하므로 v² = 2 · a · s이고 이동 거리는 $s = \frac{v^{2}}{2 \cdot a}$ 이다. 속력을 반올림하지 않고 분수 그대로 공식에 넣는다.

$\begin{aligned} s & = \frac{{(\frac{50}{3.6} m / s)}^{2}}{2 \cdot 1 {m / s}^{2}} \\ ≒ 96 m \end{aligned}$

시속 50 km가 되기까지 전철은 선로를 거의 100 m나 달린다.

같은 공식은 브레이크를 밟을 때에도 성립한다. 양의 방향을 달리는 방향으로 잡으면 가속도가 음수일 뿐이다. 자동차가 멈출 때까지 브레이크를 밟으면 나중 속도는 0이고, 관계식 $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot s$ 는 자동차가 멈추는 데 몇 미터가 필요한지 알려 준다. 이것이 제동 거리이고, 제동 거리는 운전자들이 바라는 것보다 속력에 따라 훨씬 빠르게 늘어난다.

운전자가 브레이크를 밟기까지의 짧은 시간까지 제동 거리에 더하면 자동차가 실제로 몇 미터를 가야 멈추는지, 그리고 왜 속력이 2배인 자동차는 제동 거리가 4배인지는 다음 글 제동과 정지 거리에서 계산한다.

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