Gia tốc hướng tâm

Một ô tô chạy quanh vòng xuyến, kim đồng hồ tốc độ không hề nhúc nhích. Người lái không tăng ga cũng không phanh, vậy mà ô tô vẫn có gia tốc. Thật vậy, gia tốc không đo sự thay đổi của con số trên đồng hồ tốc độ mà đo sự thay đổi của cả mũi tên vận tốc. Mà ở chỗ rẽ, mũi tên đó quay đi. Trong chuyển động tròn đều, gia tốc luôn hướng vào tâm đường tròn, vì thế nó có tên là gia tốc hướng tâm.

Nếu bạn chỉ cần công thức: vật chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r có gia tốc hướng tâm

$$a_{\mathrm{ht}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

trong đó ω là tốc độ góc. Gia tốc đó hướng về đâu và công thức từ đâu mà có, ta sẽ xem qua các hình vẽ.

Mũi tên vận tốc quay liên tục

Gia tốc cho biết vận tốc thay đổi thế nào trong một đơn vị thời gian. Nhưng vận tốc là một vectơ, một mũi tên, và mũi tên có thể thay đổi theo hai cách: dài ra hoặc ngắn lại, hoặc quay đi. Khi chuyển động trên đường thẳng, mũi tên chỉ dài ra và ngắn lại, ứng với tăng tốc và phanh. Trên đường tròn thì hoàn toàn ngược lại. Độ dài mũi tên không đổi, vì vật luôn chạy nhanh như nhau, nhưng mũi tên hướng theo tiếp tuyến của đường tròn, nên cứ sau mỗi đoạn cung nó lại quay đi một chút. Riêng việc mũi tên quay cũng là sự thay đổi vận tốc, tức là có gia tốc.

Một sai lầm hay gặp là cho rằng chuyển động tròn đều không có gia tốc vì vận tốc không đổi. Chỉ độ lớn của vận tốc là không đổi. Nếu gia tốc bằng 0 thì mũi tên vận tốc hoàn toàn không được thay đổi, cả độ dài lẫn hướng, và vật sẽ đi thẳng. Không thể rẽ mà không có gia tốc.

Hình động cho thấy một điểm chạy trên đường tròn với tốc độ không đổi. Mũi tên vận tốc màu đỏ quay cùng với nó, còn mũi tên gia tốc màu xanh lá lúc nào cũng chỉ vào tâm.

Mũi tên xanh lá luôn vuông góc với mũi tên đỏ. Vì vậy gia tốc không có thành phần nào cùng chiều hay ngược chiều chuyển động, và tốc độ không thay đổi. Toàn bộ gia tốc chỉ dùng để làm mũi tên quay. Vì sao nó hướng đúng vào tâm và lớn bao nhiêu, hình vẽ sẽ cho thấy.

Gia tốc hướng tâm lớn bao nhiêu

Ta chỉ quan sát điểm trong một khoảng thời gian ngắn Δt. Trong thời gian đó, nó dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B và đi được quãng đường

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Trên hình, đoạn chuyển động nhỏ này được vẽ hai lần. Bên trái là tam giác vị trí màu xanh dương: tâm đường tròn và hai điểm A, B. Hai cạnh của nó là bán kính r, cạnh thứ ba là đoạn thẳng AB. Trong khoảng thời gian ngắn, cung gần như thẳng, nên đoạn thẳng AB dài gần đúng bằng Δs. Bên phải là tam giác vận tốc màu xanh lá: hai mũi tên vận tốc vẽ từ một điểm và hiệu $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ của chúng, đi từ đầu mũi tên ${\overrightarrow{v}}_1$ đến đầu mũi tên ${\overrightarrow{v}}_2$. Cả hai mũi tên vận tốc đều dài v.

Để dễ nhìn, góc được vẽ lớn, nhưng bạn hãy hình dung nó khá nhỏ. Điều quan trọng là cả hai tam giác có cùng một góc ở đỉnh φ. Thật vậy, mũi tên vận tốc luôn vuông góc với bán kính, nên khi bán kính quay một góc φ thì mũi tên vận tốc cũng quay đúng một góc như thế. Bán kính và mũi tên gắn với nhau như hai nét của chữ L: xoay một nét thì cả chữ xoay theo. Cả hai tam giác đều cân và có cùng góc giữa hai cạnh bên. Vì vậy chúng có cùng hình dạng và chỉ khác nhau về kích thước: chúng đồng dạng. Với hai tam giác đồng dạng, tỉ số giữa cạnh đáy và cạnh bên như nhau:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Nói bằng lời: mũi tên xanh lá ngắn hơn mũi tên vận tốc bao nhiêu lần thì đoạn thẳng AB ngắn hơn bán kính bấy nhiêu lần. Thay Δs bằng v · Δt rồi biến đổi phương trình:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

Ở vế trái là độ biến thiên vận tốc trong một đơn vị thời gian, tức là gia tốc:

$$a_{\mathrm{ht}}=\frac{v^2}{r}$$

Ta đã gian lận một chút, vì đoạn thẳng AB ngắn hơn cung một tí. Nhưng ta quan sát trong khoảng thời gian càng ngắn thì đoạn thẳng càng trùng với cung, và với gia tốc tức thời, ta lấy khoảng thời gian ngắn đến mức không nhận ra sự chênh lệch. Vì vậy công thức hoàn toàn chính xác.

Hình vẽ còn cho biết cả hướng. Mũi tên xanh lá $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ hướng xuống dưới, cùng hướng với đường nối trung điểm đoạn AB với tâm đường tròn. Với góc nhỏ, nó gần như vuông góc với cả hai mũi tên vận tốc, mà đường vuông góc với tiếp tuyến chính là bán kính. Như vậy độ biến thiên vận tốc, và cùng với nó là gia tốc, hướng vào tâm.

Đơn vị cũng khớp:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Hơn nữa, công thức cũng “cư xử” hợp lí. Vật chạy càng nhanh thì mũi tên vận tốc càng dài và quay càng nhanh. Cả hai điều đó làm gia tốc tăng, vì vậy trong công thức tốc độ được bình phương. Khi bán kính tăng, đường tròn thẳng ra và gia tốc giảm. Với bán kính rất lớn, một đoạn đường tròn gần như là đường thẳng và gia tốc gần bằng 0, đúng như khi đi thẳng với tốc độ không đổi.

Dạng thứ hai của công thức có được khi thay tốc độ bằng biểu thức v = ω · r:

$$a_{\mathrm{ht}}=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Ở đây dễ vấp. Ở dạng thứ nhất, bán kính nằm ở mẫu số, ở dạng thứ hai lại nằm ở tử số. Gia tốc tăng hay giảm theo bán kính? Cả hai đều đúng, chỉ là mỗi lần có một đại lượng khác được giữ nguyên. Với cùng một tốc độ, khúc cua rộng hơn thì êm hơn, gia tốc nhỏ hơn. Với cùng một tốc độ góc, chẳng hạn trên vòng quay ngựa gỗ, con ngựa ở mép có tốc độ lớn hơn, nên gia tốc cũng lớn hơn con ngựa gần tâm.

Một phần tư vòng xuyến

Ta trở lại vòng xuyến. Ô tô chạy trên đó với tốc độ 54 km/h, tức là 15 m/s, và đi hết một phần tư vòng xuyến trong 3 s. Từ mũi tên vận tốc lúc đầu và lúc cuối của một phần tư vòng, ta đã tính được gia tốc trung bình khoảng 7,1 m/s², hướng vào tâm. Nhưng gia tốc tại mỗi thời điểm là bao nhiêu?

Ta cần bán kính. Trong 3 s, ô tô đi được 15 m/s · 3 s = 45 m, và đó là một phần tư chu vi đường tròn:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Bây giờ thay vào công thức. Bán kính để ở dạng phân số, để không làm tròn kết quả trung gian, và chia cho một phân số là nhân với phân số nghịch đảo:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{ht}}& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Gia tốc tức thời là 7,85 m/s², lớn hơn gia tốc trung bình 7,1 m/s². Con số này xấp xỉ gia tốc mà ô tô đạt được khi phanh hết cỡ trên đường nhựa khô, vì vậy một vòng xuyến nhỏ như thế với tốc độ 54 km/h quả thực là một khúc ngoặt gấp. Vì sao các con số lại khác nhau, khi gia tốc luôn có cùng độ lớn? Gia tốc trung bình chỉ dựa vào mũi tên vận tốc đầu tiên, mũi tên cuối cùng và hiệu của chúng. Hãy tưởng tượng mọi mũi tên vận tốc trong một phần tư vòng xuyến ấy, vẽ từ một điểm. Đầu của chúng vạch ra một phần tư đường tròn bán kính 15 m/s. Gia tốc tức thời cho biết đầu mũi tên di chuyển trên cung này nhanh thế nào. Gia tốc trung bình chỉ dùng đoạn thẳng nối đầu mũi tên đầu tiên với đầu mũi tên cuối cùng, mà đoạn thẳng thì ngắn hơn cung. Độ dịch chuyển và quãng đường cũng khác nhau như vậy: theo đường thẳng bao giờ cũng gần hơn.

Có thể kiểm tra các con số. Cung là một phần tư chu vi đường tròn bán kính 15 m/s, tức là $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Đoạn nối hai đầu mũi tên là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 15 m/s, tức là 21,2 m/s. Chia cả hai cho 3 giây:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Số thứ nhất là gia tốc tức thời theo công thức, số thứ hai là gia tốc trung bình. Đoạn vòng xuyến càng ngắn thì cung và đoạn thẳng càng trùng nhau, và gia tốc trung bình càng gần với gia tốc tức thời.

Ô tô ở khúc cua

Bây giờ ô tô chạy cũng với 54 km/h qua một khúc cua rộng hơn, bán kính 50 m. Gia tốc của nó là bao nhiêu? Ta ghi ra những gì đã biết và đổi luôn tốc độ ra mét trên giây:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_{\mathrm{ht}}& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Thay vào công thức:

$$a_{\mathrm{ht}}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

So với vòng xuyến, gia tốc gần như chỉ bằng một nửa, khúc cua rộng hơn thì êm hơn. Nhưng hãy cẩn thận với tốc độ, vì trong công thức nó được bình phương. Khi ô tô vào cùng khúc cua đó với tốc độ gấp đôi thì gia tốc lớn gấp 4, 18 m/s², và không ô tô nào trên đường làm được như vậy. Vì thế phải phanh trước khúc cua chứ không phải đến khúc cua mới phanh. Gia tốc 4,5 m/s² hoàn toàn không nhỏ, nó gần bằng khi phanh dứt khoát. Chỉ có điều nó hướng sang bên.

Trái Đất quanh Mặt Trời

Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời với tốc độ khoảng 30 km/s, tức là 3 · 10⁴ m/s, ở khoảng cách khoảng 1,5 · 10¹¹ m. Có thể kiểm tra tốc độ: một vòng mất 1 năm, khoảng 3,16 · 10⁷ s, nên

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30.000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Quỹ đạo của Trái Đất không hẳn là đường tròn nhưng rất gần đường tròn, vì vậy ta có thể thay vào công thức:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{ht}}& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Chỉ có 0,006 m/s². Mỗi giây, mũi tên vận tốc chỉ thay đổi vỏn vẹn 6 mi-li-mét trên giây, chẳng đáng gì so với tốc độ 30 ki-lô-mét trên giây. Trong 1 giây, Trái Đất bay được 30 km và chỉ lệch khỏi đường thẳng $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Nhưng 1 năm có hơn 30 triệu giây, vì vậy trong 1 năm mũi tên vận tốc quay hết một vòng và quỹ đạo của Trái Đất khép kín.

Vì sao máy giặt vắt được quần áo

Lồng máy giặt bán kính 0,25 m khi vắt ở 1.200 vòng/phút quay với tốc độ góc 40π rad/s. Lúc này dạng thứ hai của công thức tỏ ra tiện:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{ht}}& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3.950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Radian chỉ là một con số, nên đơn vị còn lại là mét trên giây bình phương. Gia tốc này lớn hơn 400 lần gia tốc rơi tự do g, tức là hơn 400g. Ai muốn kiểm tra lại từ tốc độ của thành lồng 31,4 m/s và công thức $\frac{v^2}{r}$ cũng sẽ được kết quả như vậy.

Trong công thức, tốc độ góc được bình phương. Máy giặt chỉ vắt ở 800 vòng/phút thì quay chậm hơn một phần ba, nhưng gia tốc chưa bằng một nửa: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, tức là khoảng 1.750 m/s². Vì vậy sau khi vắt chậm, quần áo lấy ra ướt hơn hẳn.

Điều đó có ý nghĩa gì với quần áo? Để chạy cùng lồng giặt, giọt nước phải liên tục rẽ, và với một gia tốc khổng lồ. Chiếc tất được thành lồng giữ trên đường tròn, nhưng trên thành lồng có các lỗ. Giọt nước nào đến chỗ có lỗ thì không còn gì làm nó rẽ nữa. Nó thôi rẽ và đi tiếp thẳng theo tiếp tuyến, ra khỏi lồng. Chiếc tất ở lại bên trong, còn nước thì ra ngoài. Chính xác thì cái gì buộc vật phải rẽ, đó là câu hỏi về lực. Động học cho ta biết việc rẽ như vậy cần gia tốc bao nhiêu, và với máy giặt thì quả thực là rất nhiều.

Đến đây ta đã mô tả chuyển động, nhưng chưa nói đến nguyên nhân của nó. Vì sao các vật khởi hành, phanh và rẽ thì phải nhờ đến lực mới giải thích được. Phần thứ hai của chuyên mục bắt đầu với lực, ở bài Lực.