Физични величини и мерни единици

„Петър измина 5.“ Пет какво? Пет метра е пътят до хладилника и обратно. Пет километра вече е прилична разходка. С пет хиляди километра с кола ще стигнеш от Прага до Лисабон и още голяма част от пътя обратно. Голото число във физиката не казва нищо, към него е нужна мерна единица:

$$s=5\mathrm{km}$$

Записът се състои от три части. Със синьо е означението на величината, тук s като път. С червено е числената стойност 5, а със зелено мерната единица, километърът. Числената стойност показва колко пъти мерната единица се побира във величината. Пет километра е пет пъти по един километър:

$$s=5\cdot 1\mathrm{km}$$

В учебниците по физика и за двете части има съкратен запис, който виждаш долу на картинката. Фигурните скоби около означението показват числената стойност, а квадратните – мерната единица: {s} = 5 и [s] = km.

Със скоростта е подобно. Изречението „движеше се със скорост 5“ може да означава 5 km/h, което е обикновено ходене, или 5 m/s, а това вече е бодър бяг. Без мерна единица не можеш да разбереш дали Петър е тръгнал на разходка, или е бягал за автобуса.

Какво е физична величина

Физичната величина е свойство, което можем да измерим, тоест да сравним с мерна единица и да изразим с число. Величина е например дължината на маса, времето, за което се сварява яйце, масата на торбата с покупки или температурата на водата в тенджерата. Красотата, напротив, не е величина. Няма уред, който да я измери, нито мерна единица, в която да се изразява. Изречението „тази снимка има седем красоти“ няма смисъл.

Всяка величина има означение, обикновено една буква. Пътят е s, времето t, масата m и скоростта v. Буквите не са избрани наслуки, идват от латинския: spatium е пространство, tempus време, massa маса и velocitas скорост.

Системата SI

Едно време всеки град е мерил по свой начин. Пражкият лакът е бил около 59 cm, виенският почти 78 cm и който е купувал плат в Прага и го е продавал във Виена, е трябвало да смята с разликата. Днес почти целият свят се придържа към една система, Международната система единици SI (от френското Système international d'unités). Тя се опира на седем основни единици:

В кинематиката и динамиката ни стигат първите три: метърът, килограмът и секундата.

Колко голям е метърът? Метърът възниква в революционна Франция като десетмилионна част от разстоянието от Северния полюс до екватора. По-късно по него е направен прът от сплав на платина и иридий и метърът е разстоянието между две черти върху него. Днес метърът се определя със светлината: това е разстоянието, което светлината изминава във вакуум за $\frac{1}{299792458}\mathrm{s}$.

Килограмът първоначално е масата на един литър вода. Повече от сто години след това големината му определя цилиндър от сплав на платина и иридий, висок и широк 39 mm, съхраняван в сейф край Париж. При сравняване с точните му копия се оказва, че те съвсем леко се разминават помежду си. Затова от 2019 г. килограмът се определя с природна константа и по принцип може да се възпроизведе точно във всяка лаборатория с нужното оборудване, без сравняване с парижкия цилиндър.

Секундата дълго време е 86 400-ата част от денонощието, защото денонощието има 24 · 60 · 60 = 86 400 секунди. Земята обаче не се върти съвсем равномерно, затова днес секундата се отмерва с атомни часовници.

Производни единици

Всички останали мерни единици се съставят от основните. Скоростта е пътят, изминат за определено време, затова я изчисляваме като път, разделен на време:

$$v=\frac{s}{t}$$

Ако измерваме пътя в метри, а времето в секунди, можем подобно на величините да разделим и техните единици:

$$[v]=\frac{[s]}{[t]}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Мерната единица на скоростта е метър в секунда. Такива единици наричаме производни. Към тях се числят например квадратният метър m² за лице, кубичният метър m³ за обем или метърът в секунда на квадрат m/s² за ускорение. Какво точно се крие зад тази „секунда на квадрат“, ще покажем при ускорението.

Някои производни единици имат собствено име, най-често по известен физик. Мерната единица на силата е нютон N, наречена на Исак Нютон. Засега ни стига да знаем, че тя може да се изрази с основните единици:

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Защо точно така, ще обясним в статията за силата.

Километърът в час, минутата, часът, литърът и тонът не принадлежат към системата SI, но могат да се използват, защото са навлезли в ежедневието. Във физичните изчисления обаче обикновено първо ги преобразуваме в основни единици. Как става това, ще покажем малко по-нататък.

Степени на десет

Във физиката често срещаме много големи и много малки числа. Слънцето е на около 150 000 000 km от Земята, тоест 150 000 000 000 m. Да пишеш и да смяташ с всичките тези нули е досадно и лесно се губи някоя. Затова такива числа се записват със степени на десет.

Степента 10³ означава, че умножаваме три десетки помежду им:

$${10}^3=10\cdot 10\cdot 10=1000$$

Показателят, тоест малкото число горе, казва колко нули има резултатът. 10⁶ е единица и шест нули, милион. Когато показателят намалим с едно, резултатът делим на десет. Ако продължим така и под нулата, получаваме

$$\begin{array}{rlrlrl}{10}^2& =100,& {10}^1& =10,& {10}^0& =1,\\ {10}^{-1}& =0,1,& {10}^{-2}& =0,01,& {10}^{-3}& =\mathrm{0,001}\end{array}$$

Отрицателният показател следователно не означава отрицателно число, а дроб: ${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}=\frac{1}{1000}$. Степента 10⁻³ е една хилядна.

Разстоянието до Слънцето сега записваме така, че пред степента на десет поставяме число между единица и десет:

$$150000000000=1,5\cdot 100000000000=1,5\cdot {10}^{11}$$

Слънцето е на около 1,5 · 10¹¹ m от Земята. Показателя определяме по това, с колко места трябва да преместим десетичната запетая, за да стане от 1,5 числото 150 000 000 000. Това са единайсет места надясно.

С малките числа е обратно. Човешкият косъм е дебел около 0,07 mm, тоест 0,00007 m. За да стане от седем 0,00007, трябва да преместим запетаята с пет места наляво и затова показателят е отрицателен:

$$\mathrm{0,000}07\mathrm{m}=7\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}.$$

Повече за пресмятането със степени ще намериш в статията Степени, а превръщането на число в такъв вид го върши калкулаторът за стандартен вид на число.

Представки пред мерните единици

Степента на десет може да се замени с представка пред единицата. Кило означава хиляда, така че километърът е хиляда метра и 3 · 10³ m = 3 km. Най-използваните са в таблицата:

АЕЦ „Козлодуй“ има мощност около 2 GW, тоест 2 · 10⁹ W. Косъм, дебел 7 · 10⁻⁵ m, е същото като 70 µm, защото 7 · 10⁻⁵ = 70 · 10⁻⁶.

Килограмът е изключение, представката вече е в него. Затова другите представки се добавят към грама: хилядната част от грама е милиграм, никой не казва микрокилограм.

Внимавай и с главните и малките букви. Малкото m е мили, главното M е мега и разликата между тях е милиард пъти. Лазерната показалка свети с мощност около 1 mW. Който напише вместо това 1 MW, е направил от нея вятърна електроцентрала.

Преобразуване на мерни единици

Преобразуването може да се прави и без да помним в коя посока се умножава и в коя се дели. Достатъчно е да вземем единицата като число, вместо което заместваме колко е в новата единица. Колко метра са 2,5 km? Един километър е хиляда метра, така че вместо километър заместваме 1000 m:

$$2,5\mathrm{km}=2,5\cdot 1\mathrm{km}=2,5\cdot 1000\mathrm{m}=2500\mathrm{m}$$

Времето се преобразува подобно. Колко часа са 45 min? Минутата е шестдесетата част от часа:

$$45\min =45\cdot \frac{1}{60}\mathrm{h}=\frac{45}{60}\mathrm{h}=0,75\mathrm{h}$$

И накрая масата. Грамът е хилядна част от килограма, така че 350 g са

$$350\mathrm{g}=350\cdot \mathrm{0,001}\mathrm{kg}=0,35\mathrm{kg}.$$

При времето хората често грешат. Колко са 1,5 h? Веднага се натрапва отговорът „един час и петдесет“. Часът обаче има шестдесет минути, а не сто. Половин час е

$$0,5\mathrm{h}=0,5\cdot 60\min =30\min ,$$

така че 1,5 h са един час и трийсет минути. Същото важи и обратно: един час и двайсет минути не са 1,2 h, а

$$1\mathrm{h}+20\min =1\mathrm{h}+\frac{20}{60}\mathrm{h}\approx 1,33\mathrm{h}.$$

Километри в час и метри в секунда

Скоростомерът в колата показва километри в час, но във физиката се смята в метри в секунда. Ще преобразуваме като преди малко, единицата вземаме като число. Километърът е 1000 m, а часът 3600 s:

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1\mathrm{km}}{1\mathrm{h}}=\frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}$$

Дробта $\frac{1000}{3600}$ съкращаваме на хиляда, получаваме $\frac{1}{3,6}$, така че

$$1\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 0,28\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

От това следва цялото правило: от km/h в m/s делим на числото 3,6. Колата, която се движи със 90 km/h, се движи със скорост

$$90\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\cdot \frac{1}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{90}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Всяка секунда тя изминава 25 m. В обратната посока, от m/s в km/h, умножаваме по числото 3,6:

$$25\mathrm{m}/\mathrm{s}=25\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}=90\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Защо един метър в секунда е 3,6 km/h? Метърът е хилядна част от километъра, а секундата е $\frac{1}{3600}$ от часа:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{m}/\mathrm{s}& =\frac{\mathrm{0,001}\mathrm{km}}{\frac{1}{3600}\mathrm{h}}\\ & =\mathrm{0,001}\cdot 3600\mathrm{km}/\mathrm{h}=3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Типична грешка е да объркаш посоката и да умножиш там, където трябва да се дели. Тогава излиза, че колата се движи със 324 m/s, което е близо до скоростта на звука. Помага да си помислиш, че метърът в секунда е по-голяма единица от километъра в час. За една и съща скорост ѝ трябва по-малко число и затова числото в m/s е винаги по-малко от числото в km/h.

За по-добра представа още два примера. Пешеходецът върви със скорост

$$5\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{5}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 1,4\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

тоест за секунда изминава малко по-малко от метър и половина. Колата на магистралата се движи със 130 km/h, тоест

$$130\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{130}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Който на магистрала погледне за две секунди в телефона си, изминава на сляпо над 70 m.

Калкулатор

Въведи скорост в километри в час и калкулаторът ще я преобразува в метри в секунда.

Същото в обратната посока, от метри в секунда в километри в час:

На някои величини обаче не им стигат нито числото, нито единицата, те се нуждаят и от посока. Как се работи с тях, показва следващата статия, Скаларни и векторни величини.