Chuyển động thẳng đều

Trên đường cao tốc, bạn bật chế độ ga tự động ở 108 km/h. Từ lúc đó ô tô chạy nhanh như nhau suốt, thẳng về phía trước, và kim đồng hồ tốc độ không hề nhúc nhích. Trong 1 giây ô tô đi được bao nhiêu mét? Ta đổi tốc độ ra mét trên giây, tức là chia cho 3,6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Mỗi giây ô tô đi được 30 m. Trong 2 giây là 60 m, trong 3 giây là 90 m, và cứ thế, mỗi giây thêm 30 mét.

Bên trái là con đường nhìn từ trên xuống, ô tô chạy trên đó theo chiều đi lên. Cứ sau mỗi giây tròn, ô tô để lại trên đường một dấu màu cam, chẳng hạn một giọt sơn. Các dấu cách đều nhau, mỗi khoảng 30 m, vì trong mỗi giây ô tô đi được cùng một quãng đường. Bên phải là đồ thị. Trục nằm ngang là thời gian t tính bằng giây, trục thẳng đứng là quãng đường s tính bằng mét mà ô tô đi được kể từ dấu đầu tiên. Trục thẳng đứng có cùng tỉ lệ với con đường, nên điểm đỏ trên đồ thị luôn ở cùng độ cao với ô tô. Trong hình động, 6 giây trôi qua, và mỗi giây lại có thêm một dấu trên đường và một điểm màu cam trên đồ thị.

Chuyển động trên đường thẳng mà tốc độ của vật không thay đổi gọi là chuyển động thẳng đều. Chuyển động thẳng là chuyển động có quỹ đạo là đường thẳng. Chuyển động đều là chuyển động mà trong những khoảng thời gian bằng nhau vật đi được những quãng đường bằng nhau, cũng tức là tốc độ tức thời không đổi. Ô tô chạy với tốc độ không đổi trên đường thẳng không thể rẽ, vì sẽ ra khỏi đường thẳng, và cũng không thể quay đầu, vì muốn vậy phải giảm tốc độ về 0. Như vậy hướng vận tốc của nó cũng không đổi. Khác với ô tô trên vòng xuyến, ở đây cả vectơ vận tốc giữ nguyên, cả độ lớn lẫn hướng.

Không có vật nào chuyển động hoàn toàn chính xác như vậy: lúc nào cũng có chút gió thổi hoặc mặt đường hơi dốc lên. Nhưng ô tô với chế độ ga tự động trên đường cao tốc bằng phẳng, thang cuốn ở ga tàu điện ngầm hay đoàn tàu trên đoạn đường thẳng đều rất gần với chuyển động thẳng đều.

Công thức tính quãng đường

Nếu bạn chỉ cần công thức: quãng đường s mà vật đi được trong chuyển động đều với tốc độ v trong thời gian t là

$$s=v\cdot t$$

Công thức này suy ra từ công thức tốc độ $v=\frac{s}{t}$ mà ta đã biết. Chỉ cần nhân cả hai vế với thời gian t:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Nói đơn giản: nếu mỗi giây ô tô đi được 30 m thì trong 10 giây nó đi được gấp 10 lần. Trong 1 phút, tức là 60 s, ô tô với chế độ ga tự động đi được

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1.800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

Đơn vị được tính như các số. Giây ở mẫu số giản ước với giây ở thừa số, còn lại mét:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Nếu bạn ra kết quả là, chẳng hạn, mét nhân giây thì biết ngay là đã sai ở đâu đó.

Chú ý rằng công thức s = v · t chỉ đúng với chuyển động đều. Khi tốc độ thay đổi, ta không biết phải lấy tốc độ nào thay vào công thức. Chỉ có tốc độ trung bình giúp được: s = v_tb · t. Gia đình bác Hùng về quê với tốc độ trung bình 82 km/h trong 2,5 h, nên đi được 82 km/h · 2,5 h = 205 km, dù đồng hồ tốc độ trên xe đã chỉ đủ mọi số từ 0 đến 130.

Mất bao lâu?

Chia công thức s = v · t cho tốc độ v, ta được thời gian:

$$t=\frac{s}{v}$$

Quãng đường về quê của gia đình bác Hùng dài khoảng 205 km. Nếu ô tô chạy cả quãng với tốc độ không đổi 100 km/h thì chuyến đi mất

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Đường cao tốc không thẳng như thước kẻ, nhưng điều đó không ảnh hưởng đến công thức. Quãng đường được đo dọc theo quỹ đạo, nên s = v · t đúng với mọi chuyển động đều, kể cả với ô tô chạy qua các khúc cua với tốc độ không đổi.

2,05 h là bao nhiêu giờ, bao nhiêu phút? Chắc chắn không phải 2 giờ 5 phút. 1 giờ có 60 phút chứ không phải 100 phút. Giữ nguyên 2 giờ, còn 5 phần trăm giờ còn lại đổi ra phút:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Chuyến đi sẽ mất 2 h 3 min.

Còn lại đại lượng thứ ba là tốc độ. Ta tính nó bằng công thức $v=\frac{s}{t}$. Mai đạp xe trên đường dành cho xe đạp thẳng tắp dọc bờ sông Hồng, giữ nhịp đạp không đổi, và đi 6 km hết 20 min. 20 phút là một phần ba giờ:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Chia cho một phần ba cũng là nhân với 3, nên được 6 · 3 = 18. Ai không thích phân số thì đổi hết ra mét và giây. 20 phút là 20 · 60 s = 1.200 s:

$$v=\frac{6.000\mathrm{m}}{1.200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Hai cách cho cùng một kết quả, vì 5 m/s nhân 3,6 bằng 18 km/h.

Đồ thị quãng đường là đường thẳng

Ta ghi quãng đường của ô tô chạy chế độ ga tự động ở đầu bài vào bảng:

Mỗi hàng của bảng là một điểm của đồ thị: thời gian lấy trên trục nằm ngang, quãng đường trên trục thẳng đứng. Các điểm màu cam trong hình động ở trên được tạo ra đúng như vậy. Tất cả đều nằm trên một đường thẳng đi qua gốc toạ độ. Vì sao lại là đường thẳng?

Từ mỗi điểm đến điểm tiếp theo là một bậc như nhau: sang phải 1 giây (màu xanh dương) và lên trên 30 m (màu đỏ). Mọi bậc đều rộng như nhau và cao như nhau, nên các đoạn nối hai điểm liền kề có cùng độ dốc và nối tiếp nhau mà không bị gãy. Vậy tất cả các điểm đều nằm trên một đường thẳng. Nếu ô tô tăng tốc ở đâu đó thì bậc ở chỗ đó cao hơn và đường sẽ gãy lên trên. Giữa các giây tròn cũng vậy. Trong nửa giây ô tô đi được 15 m, trong một phần mười giây đi được 3 m, và mọi điểm như vậy đều nằm trên cùng đường thẳng đó. Vì thế ta vẽ đồ thị bằng nét liền chứ không chỉ bằng 7 dấu chấm.

Đường thẳng dốc đến đâu, ta nhận ra qua việc nó đi lên bao nhiêu khi ta dịch sang phải một đoạn. Bề rộng của bậc, tức là độ biến thiên của thời gian, kí hiệu là Δt, còn chiều cao của bậc, độ biến thiên của quãng đường, kí hiệu là Δs. Lấy thương của chúng, ta được độ dốc:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Kết quả là con số ta đã biết: tốc độ của ô tô. Độ dốc của đồ thị quãng đường là tốc độ. Đây chính là công thức $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ của tốc độ tức thời, chỉ có điều với chuyển động đều thì không cần lo đoạn phải ngắn. Lấy một đoạn đồ thị lớn hơn, độ dốc vẫn như cũ. Từ giây thứ nhất đến giây thứ năm đã trôi qua 4 s, và trong thời gian đó ô tô đi được 150 m − 30 m = 120 m:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Nhà toán học sẽ nói rằng quãng đường là hàm số bậc nhất của thời gian. Hàm số bậc nhất có dạng y = a · x + b, và đồ thị của nó luôn là một đường thẳng. Số a cho biết y tăng bao nhiêu khi x tăng thêm 1, gọi là hệ số góc và ở hàm số bậc nhất phải khác 0. Số b cho biết đường thẳng cắt trục tung ở độ cao nào. Công thức s = v · t của ta là một hàm số bậc nhất, trong đó thời gian thay cho x, quãng đường thay cho y, hệ số góc là tốc độ và b = 0, nên đường thẳng đi qua gốc toạ độ. Quan hệ như vậy là tỉ lệ thuận: thời gian dài gấp đôi thì ô tô đi được quãng đường dài gấp đôi, thời gian gấp ba thì quãng đường gấp ba.

Ô tô nhanh hơn, đồ thị dốc hơn

Trên cầu, ô tô chạy chế độ ga tự động của ta vượt một xe tải đang chạy 72 km/h, tức là

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Thời gian và quãng đường của cả hai xe ta đều tính từ cây cầu, và vẽ hai đồ thị trên cùng một hình.

Đường thẳng màu đỏ của ô tô dốc hơn đường thẳng màu xanh dương của xe tải, vì mỗi giây ô tô đi được nhiều hơn. Đồ thị quãng đường càng dốc thì chuyển động càng nhanh. Nếu xe tải đứng yên thì đồ thị của nó nằm ngang, có độ dốc bằng 0.

Từ đồ thị cũng đọc được các giá trị, vì thế trên hình có vẽ lưới. Sau 3 s xe tải đi đến đâu? Trên trục nằm ngang tìm số 3, đi lên theo đường nét đứt cho đến khi gặp đường thẳng màu xanh dương. Từ đó sang trái đến trục thẳng đứng và đọc được 60 m. Ngược lại, hỏi khi nào ô tô cách cây cầu 120 m. Trên trục thẳng đứng tìm số 120, đi sang phải đến đường thẳng màu đỏ rồi xuống trục thời gian: sau 4 s. Có thể kiểm tra cả hai bằng phép tính:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hai đường thẳng cho biết ô tô đi trước xe tải bao xa. Sau 6 giây, khoảng cách đó là 180 m − 120 m = 60 m. Mỗi giây ô tô bỏ xa thêm 10 m, đúng bằng hiệu hai tốc độ, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Khi ô tô không xuất phát từ 0

Từ đầu bài đến giờ, ta đo quãng đường từ chỗ bấm đồng hồ. Nhưng nhiều khi ta bấm đồng hồ khi vật đã đi được một đoạn. Dọc đường cao tốc có các cột cây số, trên đó ghi số ki-lô-mét tính từ điểm đầu tuyến cao tốc ở Hà Nội. Một ô tô đi qua cột cây số 21 và từ lúc đó chạy với tốc độ không đổi 90 km/h. Sau 2 giờ nó sẽ ở cột cây số nào?

Trong 2 giờ, ô tô đi được 90 km/h · 2 h = 180 km. Nhưng trên cột cây số sẽ không phải là 180, vì ô tô không xuất phát từ 0. Ta tính như thể vào lúc bấm đồng hồ, ô tô đã đi được 21 km, vì cột cây số tính từ điểm đầu tuyến. Quãng đường này gọi là vị trí ban đầu, kí hiệu s₀. Quãng đường tại thời điểm t có được bằng cách cộng vào vị trí ban đầu quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bấm đồng hồ:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Thay số:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Sau 2 giờ, ô tô sẽ ở cột cây số 201. Khi vị trí ban đầu bằng 0, ta lại được công thức s = v · t quen thuộc.

Đồ thị không còn bắt đầu ở gốc toạ độ mà ở trên trục thẳng đứng, tại độ cao s₀ = 21 km, được chỉ bằng đoạn thẳng màu xanh dương. Độ dốc vẫn là tốc độ, cứ mỗi giờ đồ thị đi lên 90 km. Đường thẳng nét đứt màu xám là đồ thị của một ô tô chạy nhanh như vậy nhưng xuất phát từ điểm đầu tuyến. Hai đường thẳng song song với nhau, vì có cùng độ dốc. Đường màu đỏ chỉ cao hơn một đoạn s₀. Theo ngôn ngữ hàm số bậc nhất y = a · x + b, a là tốc độ và b là vị trí ban đầu.

Đảo ngược câu hỏi: khi nào ô tô đến cột cây số 156? Ta dễ nghĩ ngay đến việc lấy 156 chia cho 90, nhưng như vậy là tìm thời gian để ô tô đi từ điểm đầu tuyến. Ta xuất phát từ công thức và rút thời gian ra:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Thay số:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

Ô tô đến cột cây số 156 sau một giờ rưỡi, tức là sau 1 h 30 min.

Nói cho chính xác, con số trên cột cây số không cho biết ô tô đã đi được quãng đường bao nhiêu, mà cho biết nó đang ở đâu trên đường cao tốc. Chừng nào ô tô chỉ chạy về phía trước, con số đó bằng quãng đường mà ô tô đã đi nếu xuất phát từ điểm đầu tuyến. Điều này quan trọng thế nào, ta sẽ thấy ở cuối bài.

Đồ thị vận tốc

Trên đồ thị ta cũng có thể biểu diễn vận tốc. Ô tô chạy chế độ ga tự động luôn đi 30 m/s, dù thời gian là bao nhiêu, vì vậy đồ thị vận tốc của nó là một đường nằm ngang ở độ cao 30.

Trên các trục của đồ thị này không thấy quãng đường. Nó ẩn trong diện tích dưới đồ thị. Phía dưới đường thẳng, trong 10 giây đầu, có một hình chữ nhật màu đỏ rộng 10 s và cao 30 m/s. Diện tích của nó, chiều rộng nhân chiều cao, là

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Đó đúng là quãng đường s = v · t mà ô tô đi được trong 10 giây. Diện tích ở đây không tính bằng mét vuông mà bằng mét, vì các cạnh của hình chữ nhật không phải là độ dài, mà là tốc độ và thời gian. Các vạch trắng chia hình chữ nhật thành 10 dải, mỗi dải ứng với 1 giây. Mỗi dải có diện tích 30 m/s · 1 s = 30 m, bằng đúng 30 mét giữa hai dấu liền nhau trên con đường trong hình động ở đầu bài.

Sao phải mất công với diện tích khi chỉ cần nhân? Vì diện tích dưới đồ thị vận tốc cho quãng đường cả khi đồ thị không nằm ngang. Khi học đến chuyển động nhanh dần, đồ thị vận tốc sẽ đi lên, và dưới nó sẽ là một tam giác hoặc một hình thang thay cho hình chữ nhật. Khi đó quãng đường bằng diện tích của các hình này, và chỉ cần công thức tính diện tích tam giác và hình chữ nhật, vì hình thang có thể chia thành các hình đó.

Đứng yên hay đi ngược lại?

Buổi sáng Tuấn đạp xe từ nhà theo một con đường thẳng. Tuấn đạp 2 giờ với tốc độ không đổi 20 km/h, rồi ăn trưa 1 giờ ở một quán ăn, và cuối cùng quay về nhà với cùng tốc độ.

Lần này trên trục thẳng đứng không phải là quãng đường mà là vị trí. Ta đặt trục x dọc theo con đường và gốc toạ độ ở nhà Tuấn. Khi đó vị trí x cho biết Tuấn cách nhà bao xa theo con đường, giống như cột cây số cho biết ô tô đang ở đâu trên đường. Đường nét đứt màu xám là quãng đường Tuấn đã đi, do đồng hồ gắn trên ghi đông xe đạp đo được. Cho đến hết bữa trưa, nó trùng với vị trí. Đoạn màu đỏ ta đã biết. Trong 2 giờ, Tuấn đi được 40 km, và đồ thị đi lên với độ dốc 20 km/h.

Đoạn màu xanh dương nằm ngang. Thời gian vẫn trôi, nhưng Tuấn vẫn cách nhà 40 km, tức là đang đứng yên. Đồ thị nằm ngang nghĩa là đứng yên, độ dốc bằng 0 và tốc độ cũng bằng 0.

Đoạn màu xanh lá đi xuống. Tuấn đang quay về, và vị trí x của Tuấn mỗi giờ giảm 20 km. Đồ thị đi xuống nghĩa là chuyển động theo chiều ngược lại. Tuấn đi nhanh thế nào thì xem đồ thị đi xuống bao nhiêu trong 1 giờ, ở đây là 20 km, nên Tuấn đi 20 km/h. Lúc này vận tốc có hướng ngược với buổi sáng. Vì thế người ta đôi khi gán cho nó dấu trừ, cho biết vị trí x giảm theo thời gian.

Bây giờ thấy rõ vì sao ở chỗ cột cây số ta phân biệt vật ở đâu và vật đã đi được quãng đường bao nhiêu. Đồng hồ xe đạp đo quãng đường, mà quãng đường thì không bao giờ giảm theo thời gian. Vì thế sau bữa trưa đường nét đứt tiếp tục đi lên và đến tối dừng ở 80 km, trong khi đồ thị vị trí kết thúc ở 0, vì Tuấn đã về nhà. Khi chuyển động theo một chiều, vị trí và quãng đường chỉ khác nhau một giá trị ban đầu, vì thế ở bài toán cột cây số chỉ cần công thức quãng đường s = s₀ + v · t. Khi vật quay đầu, ta phải tính bằng vị trí.

Cả chuyến đi của Tuấn không phải là chuyển động đều, nó gồm ba đoạn chuyển động đều. Tốc độ trung bình cả ngày bằng tổng quãng đường chia cho tổng thời gian, kể cả bữa trưa. Tổng quãng đường không phải là vị trí cuối, vì vị trí cuối bằng 0. Nó bằng 80 km, chỗ đồ thị nét đứt kết thúc, tức là 40 km + 0 km + 40 km:

$$v_{\mathrm{tb}}=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Đồ thị không bao giờ có đoạn thẳng đứng. Đoạn như vậy có nghĩa là Tuấn dịch chuyển đi một quãng trong thời gian bằng 0. Còn đồ thị quặt về bên trái có nghĩa là thời gian của Tuấn chạy ngược. Chưa ai làm được cả hai điều ấy.

Máy tính

Công cụ thứ nhất tính quãng đường từ tốc độ và thời gian, công cụ thứ hai tính thời gian từ quãng đường và tốc độ. Các giá trị điền sẵn lấy từ các ví dụ trong bài: 10 giây với chế độ ga tự động ở 108 km/h và chuyến về quê 205 km với tốc độ không đổi 100 km/h.

Với công thức s = s₀ + v · t và đồ thị quãng đường, ta còn giải được các bài toán chuyển động, trong đó một ô tô đuổi theo ô tô kia hoặc hai đoàn tàu chạy ngược chiều nhau. Mỗi xe có một đường thẳng trên đồ thị, và chỗ hai xe gặp nhau là giao điểm của các đường thẳng. Ta sẽ còn quay lại với những bài toán như vậy.

Trước khi bắt tay vào giải, trong bài Cách giải bài tập động học và động lực học, ta sẽ đi qua các bước có ích với mọi bài tập vật lí: tóm tắt đề bài, đổi đơn vị, vẽ hình và giải tổng quát.