Phanh và quãng đường phanh

Bạn đang lái xe trong thành phố với tốc độ 50 km/h thì cách bạn 20 mét, một đứa trẻ chạy ra từ sau dãy ô tô đỗ ven đường để đuổi theo quả bóng. Bạn có dừng kịp không? Ô tô không dừng lại ngay lúc bạn nhìn thấy đứa trẻ. Trước hết bạn phải phản ứng và đạp phanh, rồi ô tô mới bắt đầu chậm lại. Vì vậy quãng đường từ lúc thấy vật cản đến lúc dừng hẳn gồm hai phần:

• quãng đường phản ứng s_r, ô tô đi được trước khi người lái bắt đầu phanh,
• quãng đường phanh s_b, ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn.

Cộng lại, ta được tổng quãng đường:

$$s=s_r+s_b$$

Quãng đường phản ứng

Trước khi người lái phản ứng với vật cản, một khoảng thời gian phản ứng t_r đã trôi qua. Người lái phải nhận ra chuyện gì đang xảy ra, quyết định, chuyển chân từ chân ga sang chân phanh rồi đạp xuống. Người lái tỉnh táo và tập trung làm việc đó trong khoảng 1 s, và vì thế ở trường dạy lái xe người ta cũng tính với 1 giây. Người lái mệt mỏi hay đang trả lời tin nhắn thì phản ứng chậm hơn nhiều. Ai đang chạy 50 km/h mà nhìn điện thoại 2 giây là đã đi gần 28 m mà không nhìn đường.

Trong suốt thời gian phản ứng, tốc độ của ô tô không đổi, vì người lái chưa phanh. Vì vậy quãng đường phản ứng là quãng đường của chuyển động đều:

$$s_r=v\cdot t_r$$

Đổi 50 ki-lô-mét trên giờ ra mét trên giây, $50\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Trong 1 giây phản ứng, ô tô đi được

$$s_r=13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}=13,9\mathrm{m}.$$

Gần 14 mét, mà ô tô còn chưa bắt đầu phanh.

Quãng đường phanh

Ngay khi người lái đạp phanh, ô tô bắt đầu chậm lại. Một ô tô tốt trên mặt đường nhựa khô phanh với độ giảm tốc khoảng 7 m/s², mỗi giây chậm đi 7 m/s. Ta lấy chiều dương là chiều chuyển động, vì vậy gia tốc là số âm, a = −7 m/s². Giả sử nó không đổi trong khi phanh. Khi đó việc phanh là chuyển động thẳng biến đổi đều với gia tốc âm, còn gọi là chuyển động thẳng chậm dần đều.

Quá trình phanh bắt đầu với tốc độ v của ô tô và kết thúc với tốc độ bằng 0. Thời gian ở đây không cần, nên ta dùng hệ thức không chứa thời gian, $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$. Vận tốc ban đầu là v, vận tốc lúc cuối bằng 0, còn quãng đường là quãng đường phanh:

$$\begin{array}{rcl}0& =& v^2+2\cdot a\cdot s_b/-v^2\\ -v^2& =& 2\cdot a\cdot s_b/:(2\cdot a)\\ -\frac{v^2}{2\cdot a}& =& s_b\end{array}$$

Dấu trừ trong công thức không có gì đáng sợ. Gia tốc âm, nên mẫu số cũng âm, và cả phân số ra số dương, đúng như quãng đường phải thế. Dấu trừ cùng với giá trị âm của a cho một số dương, đó là độ giảm tốc. Ta kí hiệu nó là độ lớn của gia tốc $|a|$ và viết quãng đường phanh như sau:

$$s_b=\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Thay số vào công thức. Tốc độ để ở dạng phân số, để không làm tròn kết quả trung gian:

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx \frac{192,9{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{14{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 13,8\mathrm{m}\end{array}$$

Đơn vị khớp: mét bình phương trên giây bình phương chia cho mét trên giây bình phương cho mét. Từ 50 km/h, ô tô phanh dừng lại sau 13,8 m, gần bằng quãng đường nó đi được trong thời gian phản ứng.

Ta dễ nghĩ đến việc thay ngay tốc độ tính bằng ki-lô-mét trên giờ. Kết quả sẽ là $\frac{{50}^2}{2\cdot 7}\approx 179$, nhưng đó không phải là mét hay thứ gì khác, vì ki-lô-mét trên giờ không giản ước được với mét trên giây bình phương. Hơn nữa, quãng đường phanh 180 mét từ 50 km/h lẽ ra phải gây nghi ngờ ngay từ bước ước lượng, vì nó gần bằng chiều dài hai sân bóng đá.

Phanh mất bao lâu? Từ công thức v = v₀ + a · t với vận tốc lúc cuối bằng 0, lập luận tương tự ta được

$$t=\frac{v}{|a|}=\frac{13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}}{7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,99\mathrm{s}.$$

Từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn mất chưa đến 2 giây.

Đồ thị vận tốc cho thấy toàn bộ chuyển động. Trong thời gian phản ứng t_r, đồ thị nằm ngang, ô tô chạy với tốc độ không đổi. Sau đó nó đi xuống theo một đường thẳng đến 0. Quãng đường là diện tích dưới đồ thị: hình chữ nhật màu xanh dương là quãng đường phản ứng, tam giác màu đỏ là quãng đường phanh. Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông, $\frac{1}{2}\cdot 1,99\mathrm{s}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 13,8\mathrm{m}$, đúng như theo công thức.

Có dừng kịp trước đứa trẻ không?

Ta tính tổng quãng đường từng bước. Trước hết là tóm tắt, tốc độ đổi luôn ra mét trên giây:

$$\begin{array}{rl}v& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Tổng quãng đường, viết tổng quát, là tổng của hai phần:

$$s=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

Cả hai phần đã tính xong:

$$s\approx 13,9\mathrm{m}+13,8\mathrm{m}\approx 28\mathrm{m}$$

Từ lúc bạn thấy đứa trẻ, ô tô đi được khoảng 28 m, chừng 6 lần chiều dài một chiếc ô tô con. Với đứa trẻ chạy ra cách bạn 20 mét, bạn không dừng kịp. Khi xe đến chỗ đứa trẻ, bạn mới phanh được 6 mét sau thời gian phản ứng và vẫn đang chạy gần 40 km/h.

Tốc độ gấp đôi, quãng đường phanh gấp 4

Còn nếu bạn chạy 100 km/h trên quốc lộ thì sao? Tốc độ là 100 km/h ≈ 27,8 m/s. Trong 1 giây phản ứng, bạn đi được 27,8 m, gấp đôi so với 50 km/h. Quãng đường phanh là

$$s_b=\frac{{\left(\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 55,1\mathrm{m},$$

gấp 4 lần so với 50 km/h. Tổng cộng ô tô đi được 27,8 m + 55,1 m ≈ 83 m, gấp 3 lần so với 50 km/h.

Vì sao lại đúng 4 lần? Trong công thức quãng đường phanh, tốc độ được bình phương, và bình phương của 2 lần là 4 lần: (2 · v)² = 4 · v². Quãng đường phản ứng chỉ tỉ lệ thuận với tốc độ, vì vậy bạn chạy càng nhanh thì việc phanh chiếm phần càng lớn trong tổng quãng đường. Trên đường cao tốc ở 130 km/h, ô tô đi 36 m trong thời gian phản ứng nhưng phanh thêm 93 m nữa. Từ lúc thấy vật cản đến lúc dừng hẳn, nó cần gần 130 mét, dài hơn cả một sân bóng đá.

Trên đồ thị còn thấy rõ hơn. Ở đây thời gian tính từ lúc đạp phanh. Từ 100 km/h, đồ thị bắt đầu cao gấp đôi, và vì tốc độ giảm nhanh như nhau, 7 m/s mỗi giây, việc phanh cũng kéo dài gấp đôi. Tam giác cao gấp đôi và rộng gấp đôi, nên diện tích của nó lớn gấp 4. Các đường trắng cùng với đường đỏ chia nó thành 4 tam giác, mỗi tam giác bằng tam giác màu đỏ.

30 km/h trước cổng trường

Gần trường học, tốc độ bị giới hạn ở 30 km/h. Chỉ chênh 20 ki-lô-mét trên giờ thì có ý nghĩa gì không? Từ 30 km/h, tức là 8,3 m/s, ô tô đi 8,3 m trong thời gian phản ứng, còn quãng đường phanh là

$$s_b=\frac{{\left(\frac{30}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 5\mathrm{m}.$$

Ô tô dừng lại sau 13,3 m. Người lái chạy 50 km/h chỉ riêng trong thời gian phản ứng đã đi 13,9 m. Ở chỗ người lái chạy 30 km/h đã dừng hẳn, người kia còn chưa bắt đầu phanh và sẽ đâm vào đứa trẻ với tốc độ nguyên 50 km/h.

Giữ khoảng cách bao nhiêu?

Trên đường tỉnh, bạn chạy với tốc độ 90 km/h, tức là 25 m/s, sau một ô tô khác thì nó đột ngột phanh gấp. Nếu hai xe phanh như nhau thì quãng đường phanh cũng dài như nhau. Nhưng bạn bắt đầu phanh muộn hơn một khoảng thời gian phản ứng, và trong lúc đó đi 25 m với tốc độ nguyên vẹn. Vì vậy khoảng cách ít nhất phải bằng quãng đường phản ứng, nếu không bạn sẽ đâm vào xe phía trước.

Các trường dạy lái xe khuyên dùng quy tắc 2 giây: khi xe phía trước đi qua một cọc tiêu, bạn chỉ được đến cọc tiêu đó sớm nhất sau 2 giây. Ở 90 km/h, khoảng cách đó là 50 m, gấp đôi quãng đường phản ứng. Phần dự phòng này rất có ích, vì phanh xe bạn có thể kém hơn, còn xe phía trước có thể đâm vào vật cản và dừng lại sớm hơn nhiều so với quãng đường phanh.

Xe đã chạy nhanh thế nào?

Công thức cũng dùng được theo chiều ngược lại. Ô tô đời cũ không có ABS, khi phanh gấp sẽ bị bó cứng bánh và để lại trên đường một vệt phanh màu đen. Sau một vụ tai nạn trên đường khô, cảnh sát đo được vệt phanh dài 25 m. Người lái khẳng định mình chạy đúng 50 km/h theo quy định. Người đó có nói thật không? Tóm tắt đề bài:

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =25\mathrm{m}\\ |a|& =7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Từ công thức quãng đường phanh, ta rút ra tốc độ. Nhân cả hai vế với $2\cdot |a|$ rồi khai căn:

$$\begin{array}{rcl}{s}_b& =& \frac{v^2}{2\cdot |a|}/\cdot 2\cdot |a|\\ 2\cdot |a|\cdot s_b& =& v^2\\ v& =& \sqrt{2\cdot |a|\cdot s_b}\end{array}$$

Thay số:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 7{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 25\mathrm{m}}=\sqrt{350{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 18,7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Căn bậc hai của mét bình phương trên giây bình phương là mét trên giây. Ô tô đã chạy ít nhất khoảng 67 km/h, chẳng phải 50 km/h gì cả. Từ 50 km/h, vệt phanh chỉ dài 13,8 m.

Đường ướt và băng

Trên đường ướt, trên tuyết và trên băng, ô tô giảm tốc ít hơn, vì lốp bám mặt đường trơn kém hơn. Nguyên nhân là ma sát, mà ta sẽ gặp ở phần lực. Lúc này chỉ cần biết rằng độ giảm tốc nhỏ hơn. Trong công thức, nó nằm ở mẫu số, vì vậy độ giảm tốc bằng một nửa thì quãng đường phanh gấp đôi. Các giá trị tham khảo và quãng đường phanh từ 50 km/h:

Trên băng, từ 50 km/h bạn chỉ dừng được sau gần 100 mét. Mặt đường không ảnh hưởng đến quãng đường phản ứng, nó chỉ phụ thuộc vào tốc độ và người lái. Chính vì vậy, khi đường trơn, phải chạy chậm hơn và giữ khoảng cách lớn hơn.

Máy tính quãng đường phanh

Nhập tốc độ, thời gian phản ứng và loại mặt đường, công cụ sẽ tính quãng đường phản ứng, quãng đường phanh, tổng quãng đường và thời gian từ lúc thấy vật cản đến lúc dừng hẳn. Độ giảm tốc theo mặt đường lấy theo bảng ở trên và chỉ có tính tham khảo, với lốp mòn hoặc phanh kém hơn thì nó sẽ nhỏ hơn.

Khi phanh, tốc độ giảm đều. Trường hợp ngược lại ta gặp hằng ngày, chỉ cần đánh rơi một thứ gì đó: hòn đá rơi xuống mỗi giây lại có tốc độ lớn thêm một lượng như nhau. Giếng sâu bao nhiêu nếu hòn đá chạm nước sau 2 giây, và vì sao trên Mặt Trăng chiếc búa và chiếc lông chim chạm đất cùng lúc, ta sẽ tính ở bài tiếp theo, Sự rơi tự do.