Tốc độ và vận tốc

Năm 2009, tại giải vô địch thế giới ở Berlin, kỉ lục thế giới chạy 100 m được lập với thời gian 9,58 s. Đó là một cuộc chạy nhanh đến mức nào? Nếu vận động viên giữ nguyên nhịp chạy suốt cả quãng thì mỗi giây sẽ ứng với

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

tức là hơn 10 mét mỗi giây. Đổi ra ki-lô-mét trên giờ thì được bao nhiêu?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Trên con phố giới hạn tốc độ 50 km/h, vận động viên này có thể bám theo ô tô được một lúc. Ít nhất là trên quãng 100 mét, lâu hơn thì không giữ nổi nhịp chạy ấy.

Công thức tính tốc độ

Nếu bạn chỉ cần công thức: tốc độ v được tính bằng cách lấy quãng đường s chia cho thời gian t mà vật đi hết quãng đường đó:

$$v=\frac{s}{t}$$

Tốc độ cho biết vật đi được bao nhiêu quãng đường trong một đơn vị thời gian, chẳng hạn trong 1 giây hay 1 giờ. Trong cùng một khoảng thời gian, quãng đường càng dài thì tốc độ càng lớn. Còn nếu đi cùng một quãng đường mất nhiều thời gian hơn thì tốc độ giảm, vì thời gian nằm ở mẫu số.

Đơn vị nhận được bằng cách chia đơn vị quãng đường cho đơn vị thời gian. Quãng đường tính bằng mét và thời gian tính bằng giây cho mét trên giây, m/s. Quãng đường tính bằng ki-lô-mét và thời gian tính bằng giờ cho ki-lô-mét trên giờ, km/h. Hai đơn vị này đổi cho nhau qua số 3,6: từ m/s sang km/h thì nhân, chiều ngược lại thì chia.

Tốc độ trung bình

Gia đình bác Hùng đi ô tô về quê theo đường cao tốc, quãng đường dài khoảng 205 km. Cả nhà đi mất 2,5 h, kể cả lúc dừng nghỉ ở cây xăng. Vậy họ đã đi nhanh thế nào?

Thử tính:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Nhưng đồng hồ tốc độ trên xe hầu như chưa lúc nào chỉ 82 km/h. Trên đường cao tốc nó chỉ khoảng 130 km/h, ở đoạn tắc đường chỉ 20 km/h, còn ở cây xăng thì chỉ số 0. Con số 82 km/h là tốc độ trung bình: tốc độ mà ô tô phải giữ suốt thời gian không nghỉ để về đến nơi trong cùng khoảng thời gian đó. Ta kí hiệu nó là v_tb và tính bằng tổng quãng đường chia cho tổng thời gian:

$$v_{\mathrm{tb}}=\frac{s}{t}$$

Tổng thời gian tính tất cả, kể cả lúc dừng. Nếu cả nhà ngồi nghỉ ở cây xăng lâu thêm 1 giờ thì họ đi cùng quãng đường 205 km trong 3,5 h, và tốc độ trung bình giảm xuống còn

$$v_{\mathrm{tb}}=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Tốc độ 10,44 m/s của cuộc chạy kỉ lục ở đầu bài cũng là tốc độ trung bình. Vận động viên xuất phát từ bàn đạp với tốc độ bằng 0, mấy mét đầu còn đang tăng tốc, nên lúc đầu chạy chậm hơn và về cuối chạy nhanh hơn. Theo số liệu đo ở Berlin, đoạn từ mét thứ 60 đến mét thứ 80, tức là 20 m, được chạy hết trong 1,61 s:

$$v_{\mathrm{tb}}=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Như vậy trên một đoạn ngắn ở nửa sau cuộc đua, vận động viên chạy nhanh hơn đáng kể so với tốc độ trung bình trên cả quãng 100 mét.

Đi 60, về 40

Bài toán này hay có trong bài kiểm tra và cả kì thi tuyển sinh, vì gần như ai cũng trả lời sai ở lần đầu. Chú Bình lái ô tô về nhà ở quê, cách 120 km, với tốc độ 60 km/h. Lúc quay về đường bị tắc, nên chú chỉ đi được 40 km/h. Tốc độ trung bình của chú trên cả quãng đường đi và về là bao nhiêu?

Ta dễ nghĩ ngay đến việc cộng hai tốc độ rồi chia đôi:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Nhưng như vậy là sai. Tốc độ trung bình không phải là trung bình cộng của các tốc độ, mà là tổng quãng đường chia cho tổng thời gian. Vì vậy trước hết ta tìm thời gian đi theo mỗi chiều. Lúc đi, chú Bình đi 120 km với tốc độ 60 km/h. Từ công thức $v=\frac{s}{t}$, ta rút ra thời gian bằng cách nhân cả hai vế với t rồi chia cho v:

$$t=\frac{s}{v}$$

Lúc đi mất

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

còn lúc về mất

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Tổng cộng chú đi 240 km trong 5 h. Tốc độ trung bình là

$$v_{\mathrm{tb}}=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Chú Bình đi với tốc độ trung bình 48 km/h, chứ không phải 50 km/h. 2 ki-lô-mét trên giờ đã đi đâu mất? Hình dưới đây cho câu trả lời.

Mỗi hình chữ nhật biểu diễn 1 giờ lái xe, con số bên trong cho biết chú Bình đi được bao nhiêu ki-lô-mét trong giờ đó. Lúc đi, màu đỏ, chú mất 2 giờ; lúc về, màu xanh dương, mất 3 giờ. Hai chiều dài như nhau, 120 km, nhưng với tốc độ chậm thì chú lái lâu hơn. Khi lấy trung bình trên 5 giờ, số 40 có 3 phiếu, còn số 60 chỉ có 2 phiếu:

$$\begin{array}{rl}{v}_{\mathrm{tb}}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Hàng màu xanh lá cho thấy 5 giờ, mỗi giờ 48 km/h, cũng cho đúng 240 km. Trung bình 50 km/h chỉ đúng khi chú Bình đi với hai tốc độ trong thời gian bằng nhau, chẳng hạn 1 giờ với tốc độ 60 và 1 giờ với tốc độ 40. Ở đây chú đi hai quãng đường bằng nhau, chứ không phải hai khoảng thời gian bằng nhau, nên trung bình nghiêng về phía tốc độ chậm hơn.

Còn dễ sai hơn là bài toán ngược. Lúc đi, chú Bình vẫn chạy 60 km/h và muốn tốc độ trung bình trên cả quãng đường là 80 km/h. Lúc về chú phải đi nhanh thế nào? Đáp án 100 km/h có vẻ hiển nhiên, nhưng ta đã biết không thể lấy trung bình các tốc độ như vậy. Cả quãng đường 240 km với tốc độ trung bình 80 km/h sẽ mất

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Nhưng chú đã dùng hết 2 giờ cho lúc đi. Cho 120 km lúc về chỉ còn đúng 1 giờ, nên chú phải đi 120 km/h. Còn nếu muốn trung bình 120 km/h thì sao? Cả quãng đường phải đi hết trong 2 giờ, mà 2 giờ ấy chú đã dùng hết rồi. Lúc về chú phải đến nơi trong thời gian bằng 0, nên điều này không thể, dù chú có đi nhanh đến đâu.

Tốc độ tức thời

Đồng hồ tốc độ trên ô tô không chỉ tốc độ trung bình của cả chuyến đi. Nó cho biết ô tô đang chạy nhanh thế nào ngay lúc này. Đó là tốc độ tức thời. Nhưng tính nó thế nào, khi công thức đòi hỏi một quãng đường và một khoảng thời gian, mà một thời điểm thì không kéo dài chút nào?

Ta dùng tốc độ trung bình trên những đoạn đường ngày càng ngắn. Ô tô xuất phát từ đèn giao thông, cách đó 100 m có một cột đèn. Ta muốn biết ô tô chạy nhanh thế nào đúng lúc qua cột đèn. Đặt ở cột đèn một cổng quang điện như loại dùng để bấm giờ trong điền kinh, và đặt một cổng thứ hai lần lượt cách cột đèn 100 m, 10 m và 1 m về phía trước. Các cổng đo thời gian ô tô đi hết mỗi đoạn, từ đó ta tính được tốc độ trung bình:

Trên đoạn 100 mét, tốc độ trung bình là 24,14 m/s. Nhưng ô tô tăng tốc suốt 100 mét đó, nên ở cuối đoạn nó chạy nhanh hơn nhiều so với lúc qua cột đèn, và vì thế trung bình lớn hơn. Trên 10 mét, ô tô kịp tăng tốc ít hơn, còn trên 1 mét thì gần như không. Đoạn đường càng ngắn thì tốc độ trong đoạn đó thay đổi càng ít, và tốc độ trung bình càng gần với tốc độ tại cột đèn. Các kết quả ổn định quanh 20 m/s. Trên đoạn 10 cm sẽ được 20,005 m/s, trên 1 mi-li-mét còn nhỏ hơn một chút nữa. Vậy tốc độ tức thời của ô tô tại cột đèn là 20 m/s, tức là 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Đó chính là con số đồng hồ tốc độ chỉ vào lúc ấy.

Như vậy tốc độ tức thời là tốc độ trung bình trên một đoạn đường rất ngắn. Đoạn đường nhỏ mà vật đi được kí hiệu là Δs, khoảng thời gian vật đi hết đoạn đó là Δt. Chữ Hy Lạp Δ chỉ độ biến thiên. Khi đó

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

trong đó khoảng thời gian Δt phải đủ ngắn để tốc độ không thay đổi đáng kể trong khoảng đó. Ngắn bao nhiêu là đủ thì tuỳ chuyển động. Ô tô chạy trên đường cao tốc với chế độ ga tự động chỉ đổi tốc độ rất ít trong 1 giây. Ô tô đâm vào tường thì dừng lại trong một phần mười giây.

Chuyển động đều là chuyển động mà trong những khoảng thời gian bằng nhau vật đi được những quãng đường bằng nhau. Bây giờ ta có thể mô tả nó theo cách khác: đó là chuyển động có tốc độ tức thời không thay đổi. Đồng hồ tốc độ luôn chỉ cùng một số, và tốc độ trung bình trên đoạn bất kì bằng tốc độ tức thời. Ở chuyển động không đều, tốc độ tức thời thay đổi, còn tốc độ trung bình chỉ là một con số nào đó nằm giữa tốc độ tức thời nhỏ nhất và lớn nhất.

Đạo hàm, dành cho bạn tò mò

Ai đã biết giới hạn và đạo hàm sẽ nhận ra ta đã làm gì trong bảng. Ta rút ngắn khoảng thời gian Δt và theo dõi xem thương $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ dần tới đâu. Nhà toán học sẽ nói rằng tốc độ tức thời là giới hạn của thương này, tức là đạo hàm của quãng đường theo thời gian:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Ô tô trong bảng đi được quãng đường s = 1 m/s² · t² sau thời gian t kể từ đèn giao thông, và đến cột đèn sau 10 giây. Đạo hàm của t² là 2t, nên

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

và đó đúng là giá trị mà bảng tiến dần tới. Ngoài chỗ này, trong cả chuyên mục ta không cần đến đạo hàm.

Vận tốc là một vectơ

Một ô tô chạy quanh vòng xuyến, đồng hồ tốc độ lúc nào cũng chỉ 30 km/h. Vận tốc của ô tô có thay đổi không?

Vận tốc là một vectơ. Không chỉ cần biết ô tô chạy nhanh thế nào mà còn cần biết nó chạy về đâu. Mũi tên vận tốc được kí hiệu là $\overrightarrow{v}$. Độ lớn của nó, $v=|\overrightarrow{v}|$, là con số mà đồng hồ tốc độ chỉ. Mũi tên hướng theo chiều mà vật đang chuyển động.

Trên hình, ô tô chạy theo đường tròn nét đứt màu xám, ngược chiều kim đồng hồ, đúng chiều xe chạy trong vòng xuyến. Mũi tên đỏ chỉ vận tốc của nó. Các mũi tên nhạt hơn ${\overrightarrow{v}}_1$ đến ${\overrightarrow{v}}_4$ ghi lại vận tốc của ô tô ở bốn vị trí, cứ một phần tư vòng một lần. Trong hình động, ô tô chạy vòng quanh vòng xuyến và mũi tên của nó lần lượt trùng với từng mũi tên ấy. Mũi tên lúc nào cũng dài như nhau, vì đồng hồ tốc độ vẫn chỉ 30 km/h. Nhưng hướng của nó thay đổi liên tục.

Bây giờ ta dời cả bốn mũi tên về cùng một điểm. Mũi tên được phép dời đi nếu không xoay và không đổi độ dài, nên chúng vẫn là các vectơ cũ.

Cả bốn mũi tên đều kết thúc trên cùng một đường tròn nét đứt, nên có cùng độ lớn, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Nhưng mỗi mũi tên chỉ một hướng, nên đây là bốn vectơ khác nhau, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Vậy câu trả lời là: vận tốc của ô tô có thay đổi, dù đồng hồ tốc độ vẫn chỉ cùng một số. Hướng của vận tốc thay đổi. Đồng hồ tốc độ chỉ cho biết độ lớn của vận tốc, nó không thấy hướng.

Ta đã nhận biết chuyển động đều qua quãng đường, mà quãng đường thì không có hướng. Vì vậy chuyển động có tốc độ không đổi được coi là chuyển động đều. Ô tô trên vòng xuyến chuyển động đều, vậy mà vận tốc của nó, xét như một vectơ, vẫn thay đổi. Sự khác biệt này đáng kể, bạn có thể tự cảm nhận khi ngồi trên ô tô: ở chỗ rẽ bạn phải bám chặt, dù người lái không đạp ga cũng không đạp phanh. Vì sao như vậy, ta sẽ giải thích sau, ở bài gia tốc.

Còn phải giải thích vì sao mũi tên hướng theo tiếp tuyến, tức là đường thẳng chỉ chạm vào quỹ đạo tại điểm đang xét. Ta quay lại với giá trị trung bình, nhưng lần này dưới dạng vectơ, tức là vận tốc trung bình. Trong khoảng thời gian Δt, ô tô dịch chuyển từ điểm A đến một điểm khác trên quỹ đạo. Độ dịch chuyển của nó là mũi tên $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$, và vận tốc trung bình dưới dạng vectơ là

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Chú ý rằng độ lớn của vectơ này nói chung không bằng quãng đường chia cho thời gian. Độ dịch chuyển thường ngắn hơn quãng đường, và chỉ trùng với quãng đường trên một đoạn rất ngắn.

Chia một vectơ cho một số cũng như nhân nó với số $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. Mũi tên chỉ ngắn lại hoặc dài ra, hướng vẫn giữ nguyên, vì thế vận tốc trung bình cùng hướng với độ dịch chuyển.

Hình vẽ quỹ đạo màu đen, ô tô chạy trên đó từ trái sang phải. Các mũi tên xanh lá là độ dịch chuyển từ điểm A trong những khoảng thời gian ngày càng ngắn, đến những điểm ngày càng gần A. Độ dịch chuyển dài hướng chếch lên trên, độ dịch chuyển ngắn hơn thì ít chếch hơn, và khoảng thời gian càng ngắn thì mũi tên càng áp sát tiếp tuyến nét đứt màu xám. Vận tốc tức thời là vận tốc trung bình trên một đoạn rất ngắn, vì vậy nó hướng theo tiếp tuyến, trên hình là theo hướng mũi tên đỏ.

Tiếp tuyến của quỹ đạo thậm chí có thể nhìn thấy. Tia lửa từ máy mài bay ra khỏi đĩa mài theo tiếp tuyến, theo hướng mà mẩu kim loại đang chuyển động vào lúc nó bứt ra khỏi đĩa. Những giọt nước văng ra từ chiếc ô đang xoay cũng như vậy. Nếu ô tô trên vòng xuyến chạy vào vệt dầu loang và bánh xe mất độ bám, nó sẽ chạy tiếp gần như thẳng theo hướng mũi tên vận tốc, chứ không theo đường tròn.

Các vật chuyển động nhanh thế nào

Để dễ hình dung, dưới đây là một số tốc độ điển hình, đã làm tròn:

Tốc độ âm thanh trong bảng ứng với không khí ở nhiệt độ 20 °C. So với ánh sáng, âm thanh rất chậm, vì vậy ta thấy tia chớp trước khi nghe tiếng sấm: ánh sáng đến gần như tức thì, còn âm thanh đi 1 ki-lô-mét mất khoảng 3 giây. Nếu từ lúc thấy chớp đến lúc nghe sấm bạn đếm được 9 giây thì cơn giông cách khoảng 3 ki-lô-mét. Ánh sáng nhanh nhất. Từ Mặt Trăng, ánh sáng đến chỗ ta sau hơn 1 giây một chút, từ Mặt Trời sau khoảng 8 phút.

Máy tính

Nhập quãng đường và thời gian, công cụ sẽ tính tốc độ trung bình. Các giá trị điền sẵn lấy từ chuyến về quê của gia đình bác Hùng.

Chuyển động đơn giản nhất là chuyển động mà vận tốc hoàn toàn không đổi, cả độ lớn lẫn hướng. Chuyển động như vậy là chuyển động thẳng đều, và bài tiếp theo, Chuyển động thẳng đều, dành cho nó.