Ускорение

Производителите на коли обичат да се хвалят за колко секунди колата им ускорява от нула до сто. При обикновена семейна кола излизат приблизително десет секунди. Какво всъщност казва това число? Първо преобразуваме сто километра в час в метри в секунда:

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

За десет секунди колата следователно набира 27,8 m/s. Ако добавяше равномерно, с всяка секунда щеше да се движи с една десета от това по-бързо, с 2,78 m/s, закръглено с 2,8 m/s. След първата секунда щеше да се движи със 2,8 m/s, след втората с 5,6 m/s, след третата с 8,4 m/s и след десетата с онези 27,8 m/s. Величината, която показва с колко се променя скоростта за секунда, наричаме ускорение.

Фигурата показва два пътя един над друг. И двете коли оставят след себе си оранжева маркировка всяка цяла секунда. Горната кола държи през цялото време един и същ темп, 7 m/s, и затова маркировките ѝ са на еднакво разстояние. Долната кола потегля от покой и ускорява точно със 2,8 m/s всяка секунда. През първата секунда изминава само малко, едва метър и половина, но после с всяка секунда повече, защото се движи все по-бързо. Маркировките ѝ затова са все по-далече една от друга, колко, ще пресметнем след малко. След пет секунди двете коли са на едно и също място, на 35 m от старта. Долната кола отначало изостава, накрая се движи по-бързо и настига горната точно на финала.

Формула за ускорението

Ако търсиш само формулата, ускорението a изчисляваш, като промяната на скоростта Δv разделиш на времето Δt, за което скоростта се е променила:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Гръцката буква Δ означава промяна. Промяната на скоростта е разлика между скоростта в края и в началото. Началната скорост означаваме v₀, крайната v:

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

За колата от началото записваме условието:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Заместваме:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\approx 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Семейната кола има ускорение около 2,8 m/s². В действителност колата не ускорява през цялото време еднакво, при по-висока предавка добавя по-малко. Изчисленото число затова е средното ускорение за цели десет секунди. Моментното ускорение получаваме със същия трик като моментната скорост: промяната на скоростта измерваме за толкова кратко време Δt, че ускорението през него да не се променя забележимо. Който познава производните, ще разпознае в това производна на скоростта по времето, a = v'(t).

Защо метри в секунда на квадрат

Мерната единица на ускорението получаваме, като разделим единицата на скоростта на единицата на времето. Да делим на число е същото като да умножаваме по реципрочната му стойност:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Двете секунди в знаменателя изглеждат странно, но всяка е там по друга причина. Първата принадлежи на скоростта (колко метра в секунда се движи колата), втората казва за колко време се е променила тази скорост. Записът 2,8 m/s² затова се чете като „всяка секунда с 2,8 m/s по-бързо“.

Който предпочита да смята в километри в час, може да го изрази и така: колата, която ускорява от нула до сто за десет секунди, добавя всяка секунда 10 km/h. Резултатът 10 km/h за секунда е пълноценно ускорение, само че в единица, която никой не използва, защото смесва часове със секунди.

Внимавай да не бъркаш: голямо ускорение не означава голяма скорост. Колата на магистралата с круиз контрол, настроен на 130 km/h, има нулево ускорение, защото скоростта ѝ не се променя. Колата, която потегля на зелено, отначало се движи със скорост почти нула и въпреки това има сериозно ускорение. Ускорението не казва колко бързо се движи тялото, а колко бързо се променя скоростта му.

Защо маркировките се раздалечават

Нека пак погледнем долната кола от фигурата. Тя има ускорение 2,8 m/s², така че за първата секунда ускорява от нула до 2,8 m/s. Скоростта расте равномерно, така че първата секунда колата се движи средно с половината скорост, 1,4 m/s, и изминава 1,4 m. През втората секунда ускорява от 2,8 m/s до 5,6 m/s, движи се средно със 4,2 m/s и изминава 4,2 m, три пъти повече, отколкото през първата. През третата секунда се движи средно със 7 m/s, както горната кола, и изминава същите 7 m.

Всяка секунда средната скорост нараства с 2,8 m/s и изминатият участък от пътя затова нараства с 2,8 m. Разстоянията между маркировките са последователно 1,4 m, 4,2 m, 7 m, 9,8 m и 12,6 m, в отношение 1:3:5:7:9, и заедно дават 35 m. Горната кола се движи през цялото време със 7 m/s и за пет секунди също изминава 35 m. Че средната скорост лежи точно в средата между скоростта в началото и в края на секундата, важи само при равномерно нарастване на скоростта. Защо, ще обосновем при равноускорителното движение.

Спиране

Колата се движи със скорост 72 km/h, тоест 20 m/s, шофьорът натиска спирачката и за 4 s колата спира. Крайната скорост е нула, началната 20 m/s:

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ускорението излезе отрицателно. Скоростта на колата не расте, а напротив, намалява, и то всяка секунда с 5 m/s. В разговорния език бихме казали забавяне, физикът обаче казва, че колата забавя с ускорение −5 m/s², или със забавяне 5 m/s². И двете означават същото.

Но какво всъщност означава знакът минус? Скоростта е вектор и ускорението също. Стрелката на ускорението $\overrightarrow{a}$ показва в каква посока се променя скоростта.

И двете коли се движат надясно и затова червената стрелка на скоростта $\overrightarrow{v}$ сочи надясно. Горната кола ускорява и зелената стрелка на ускорението $\overrightarrow{a}$ сочи като скоростта: всяка секунда към скоростта се добавя малко и стрелката на скоростта се удължава. Долната кола спира и ускорението ѝ сочи обратно, назад. Всяка секунда стрелката на скоростта се скъсява, докато не остане нищо от нея. При движение по права за посоката стига знакът. Когато изберем положителната посока по посоката на движението, както при спиращата кола, положителното ускорение сочи като скоростта и тялото ускорява. Отрицателното сочи срещу скоростта и тялото забавя.

Ускорение в завой

Колата минава през кръгово кръстовище и скоростомерът през цялото време показва 54 km/h. Скоростта като вектор все пак се променя, защото стрелката на скоростта непрекъснато се завърта. А където се променя скоростта, има и ускорение. Ускорението като вектор е промяната на вектора на скоростта за единица време:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

Два вектора изваждаме, като двете стрелки пренесем в една точка. Разликата ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$ е тогава стрелката от върха на ${\overrightarrow{v}}_1$ до върха на ${\overrightarrow{v}}_2$, защото ако я прибавим към ${\overrightarrow{v}}_1$, получаваме точно ${\overrightarrow{v}}_2$. Стрелките на скоростта на кръстовището са еднакво дълги, но сочат на различни страни, така че разликата им не е нула. Колата, която минава през завой с постоянна скорост, има ненулево ускорение. Причинява го не газта или спирачката, а завиването.

Пример: Колата минава четвърт от кръстовището с постоянна скорост 54 km/h = 15 m/s за 3 s. В началото се движи на изток, в края на север. Колко голямо е средното ѝ ускорение и накъде сочи? Записваме условието:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

Стрелката ${\overrightarrow{v}}_1$ сочи на изток, на фигурата надясно, стрелката ${\overrightarrow{v}}_2$ на север, нагоре.

Вдясно двете стрелки са пренесени в една точка и сключват прав ъгъл. Зелената разлика $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ води от върха на ${\overrightarrow{v}}_1$ до върха на ${\overrightarrow{v}}_2$, тоест с 15 m/s наляво и с 15 m/s нагоре. Тя е хипотенуза на правоъгълен триъгълник, така че големината ѝ изчисляваме с Питагоровата теорема:

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Разликата сочи косо наляво нагоре, на северозапад, както сивата стрелка вляво, която води от средата на четвъртината към центъра на кръстовището. Ускорението получаваме, като промяната на скоростта разделим на времето. Делението на число стрелката само скъсява, така че и ускорението сочи към центъра на кръстовището. Заместваме:

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\approx \frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Колата има средно ускорение около 7,1 m/s² към центъра на кръстовището. Това е почти като при рязко спиране на сух път, около 7 m/s², а скоростомерът през цялото време показва 54 km/h. Затова в завой трябва да се подпреш, макар шофьорът нито да дава газ, нито да спира. Получихме средно ускорение, за цялата четвъртина от кръстовището. Моментното ускорение във всяко място на завоя ще изчислим точно при центростремителното ускорение.

Претоварване

Ускорението на колата усещаме със собственото си тяло: спортната кола при потегляне те притиска в седалката. Колко силно, се сравнява със земното ускорение g ≈ 9,81 m/s². С това ускорение пада камък, който пуснеш от ръка, ако въздухът не го спира. Спортната кола може да ускори от нула до сто за три секунди, така че има ускорение

$$a=\frac{27,8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

почти същото като падащия камък.

Претоварването показва колко пъти по-силно те притиска седалката, подът или облегалката, отколкото при спокойно седене. Когато сега седиш на стол, претоварването е 1g, макар да не ускоряваш. Претоварването следователно не е същото като ускорението. При 4g седалката би те притискала четири пъти по-силно, като че ли тежиш четири пъти повече.

В спортната кола при пълна газ облегалката те притиска в гърба почти толкова силно, колкото седалката отдолу, защото колата ускорява почти като падащ камък. На влакче на ужасите в най-ниското място на долината или на примката те притиска към седалката претоварване от 3 до 4g. Вагончето там бързо променя посоката си от движение надолу на движение нагоре, а това е голямо ускорение, насочено нагоре.

По пътя надолу седалката притиска по-слабо, отколкото при седене, в най-ниското място на долината приблизително три пъти по-силно.

Пилот на изтребител в рязък завой издържа до 9g, но само в специален костюм, който не позволява на кръвта да се оттича от главата към краката. Нетренираният човек при такова претоварване би припаднал за няколко секунди. Интересно е, че при свободно падане не усещаме нищо, макар да ускоряваме: нищо не ни притиска, претоварването е нулево и тялото е в безтегловност. Защо всъщност ускорението усещаме като натиск на седалката, ще обясни едва динамиката, тоест частта за силите.

Най-простото е движението, при което ускорението изобщо не се променя, както при долната кола на първата фигура. Скоростта тогава расте всяка секунда с една и съща стойност и пътя, и скоростта във всеки момент можем да изчислим с прости формули. На такова движение е посветена следващата статия, Равноускорително движение.