등속 직선 운동

고속도로에서 크루즈 컨트롤을 108 km/h에 맞춘다. 이제 자동차는 내내 같은 빠르기로 곧장 앞으로 달리고 속도계 바늘은 꼼짝도 하지 않는다. 자동차는 1초에 몇 m를 갈까? 속력을 미터 매 초로 바꾸자. 즉 3.6으로 나눈다.

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

자동차는 1초마다 30 m를 간다. 2초에 60 m, 3초에 90 m, 이렇게 1초마다 30 m씩 더 간다.

왼쪽은 위에서 본 도로이고, 자동차는 위쪽으로 달린다. 이 자동차는 정확히 1초가 지날 때마다 도로에 주황색 표시, 예를 들어 물감 한 방울을 남긴다. 자동차가 1초마다 같은 거리를 가므로 표시들은 모두 30 m씩 같은 간격으로 떨어져 있다. 오른쪽은 그래프이다. 가로축은 시간 t(초), 세로축은 자동차가 첫 번째 표시에서부터 간 이동 거리 s(m)이다. 세로축의 축척이 도로와 같아서 그래프의 빨간 점은 언제나 자동차와 같은 높이에 있다. 애니메이션에서는 6초 동안 달리고, 1초마다 도로의 표시와 그래프의 주황색 점이 하나씩 늘어난다.

물체가 속력을 바꾸지 않고 직선을 따라 움직이는 운동을 등속 직선 운동이라고 한다. 운동 경로가 직선인 운동이 직선 운동이다. 같은 시간 동안 같은 거리를 가는 운동이 등속 운동인데, 이것은 순간 속력이 일정한 것과 같다. 일정한 속력으로 직선을 따라 달리는 자동차는 방향을 틀 수 없다. 그러면 직선에서 벗어나기 때문이다. 되돌아갈 수도 없다. 그러려면 속력이 0이 될 때까지 느려져야 하기 때문이다. 그러니 속도의 방향도 바뀌지 않는다. 회전교차로의 자동차와 달리 벡터로서의 속도 전체, 즉 크기와 방향이 일정하다.

정말 정확하게 이렇게 움직이는 것은 없다. 언제나 바람이 조금 불거나 길이 오르막이 된다. 하지만 곧은 고속도로에서 크루즈 컨트롤을 켠 자동차, 지하철의 에스컬레이터, 곧은 선로를 달리는 열차는 등속 직선 운동에 꽤 가깝다.

이동 거리를 구하는 공식

공식만 찾고 있다면, 물체가 속력 v로 등속 운동을 해서 시간 t 동안 가는 이동 거리 s는 다음과 같이 구한다.

$$s=v\cdot t$$

이 공식은 이미 아는 속력의 공식 $v=\frac{s}{t}$에서 이끌어 낸다. 양변에 시간 t를 곱하기만 하면 된다.

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

쉬운 말로 하면, 자동차가 1초마다 30 m를 가면 10초 동안에는 그 열 배를 간다. 1분, 즉 60 s 동안 크루즈 컨트롤을 켠 자동차가 가는 거리는 다음과 같다.

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=\mathrm{1,800}\mathrm{m}=1.8\mathrm{km}.$$

단위도 수처럼 계산한다. 분모의 초와 곱하는 초가 약분되고 미터가 남는다.

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

계산 결과가 예를 들어 미터 곱하기 초로 나왔다면 어딘가에서 실수한 것이다.

주의하자. 공식 s = v · t는 등속 운동에서만 성립한다. 속력이 오르내리면 어느 속력을 공식에 넣어야 할지 모른다. 이때는 평균 속력만 쓸 수 있다. $s=\overline{v}\cdot t$이다. 민준이네 가족은 할머니 댁까지 평균 82 km/h로 2.5 h 동안 갔으므로, 속도계가 0부터 110까지 온갖 값을 가리켰어도 82 km/h · 2.5 h = 205 km를 갔다.

얼마나 걸릴까?

공식 s = v · t를 속력 v로 나누면 시간을 얻는다.

$$t=\frac{s}{v}$$

할머니 댁까지는 고속도로로 약 205 km이다. 자동차가 처음부터 끝까지 100 km/h의 일정한 속력으로 달린다면 걸리는 시간은 다음과 같다.

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2.05\mathrm{h}.$$

고속도로가 자처럼 곧지는 않지만 공식에는 문제가 없다. 이동 거리는 운동 경로를 따라 재므로 s = v · t는 모든 등속 운동에서 성립한다. 일정한 속력으로 굽은 길을 지나는 자동차에서도 성립한다.

2.05 h은 몇 시간 몇 분일까? 2시간 5분은 분명히 아니다. 1시간은 100분이 아니라 60분이다. 2시간은 그대로 두고, 나머지 100분의 5시간을 분으로 바꾼다.

$$0.05\mathrm{h}=0.05\cdot 60\min =3\min$$

걸리는 시간은 2 h 3 min이다.

남은 셋째 물리량은 속력이다. 속력은 공식 $v=\frac{s}{t}$로 구한다. 지우는 한강의 곧은 자전거길을 늘 같은 빠르기로 달려서 6 km를 20 min에 간다. 20분은 3분의 1시간이다.

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

3분의 1로 나누는 것은 3을 곱하는 것과 같으므로 6 · 3 = 18이 나왔다. 분수가 싫다면 모두 미터와 초로 바꾸면 된다. 20분은 20 · 60 s = 1,200 s이다.

$$v=\frac{\mathrm{6,000}\mathrm{m}}{\mathrm{1,200}\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

5 m/s에 3.6을 곱하면 18 km/h이므로 두 방법의 결과는 같다.

이동 거리 그래프는 직선이다

처음에 본 크루즈 컨트롤 자동차의 이동 거리를 표로 정리하자.

표의 각 줄은 그래프의 점 하나이다. 시간은 가로축에서, 이동 거리는 세로축에서 잰다. 위의 애니메이션의 주황색 점들이 바로 이렇게 생겼다. 점들은 모두 원점을 지나는 한 직선 위에 있다. 왜 하필 직선 위에 있을까?

각 점에서 다음 점으로 같은 계단이 이어진다. 오른쪽으로 1초(파랑), 위로 30 m(빨강)이다. 계단의 너비와 높이가 모두 같으므로 이웃한 점을 잇는 선분들은 기울기가 같고, 꺾이지 않고 이어진다. 그러니 모든 점이 하나의 곧은 선 위에 있다. 자동차가 어딘가에서 빨라졌다면 그곳의 계단이 더 높아서 선이 위로 꺾였을 것이다. 정수 초 사이에서도 마찬가지이다. 0.5초 동안 자동차는 15 m를, 0.1초 동안 3 m를 가고, 이런 점들도 모두 같은 직선 위에 있다. 그래서 그래프를 점 일곱 개가 아니라 이어진 선으로 그린다.

직선이 얼마나 가파른지는 오른쪽으로 조금 갈 때 얼마나 올라가는지로 알 수 있다. 계단의 너비, 즉 시간의 변화를 Δt로, 계단의 높이, 즉 이동 거리의 변화를 Δs로 쓴다. 이 둘의 몫이 기울기이다.

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

이미 아는 수가 나왔다. 자동차의 속력이다. 이동 거리 그래프의 기울기는 속력이다. 이것은 순간 속력의 공식 $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$와 똑같은데, 등속 운동에서는 구간이 짧은지 신경 쓸 필요가 없다. 그래프에서 더 긴 부분을 잡아도 기울기는 같다. 1초와 5초 사이에는 4 s가 지났고 그동안 자동차는 150 m − 30 m = 120 m를 갔다.

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

수학자라면 이동 거리는 시간의 일차함수라고 말할 것이다. 일차함수는 y = a · x + b 꼴의 식으로 쓰고, 그래프는 언제나 직선이다. 수 a는 x가 1 늘 때 y가 얼마나 느는지를 나타내고, 기울기라고 한다. 수 b는 직선이 세로축과 만나는 높이를 정한다. 공식 s = v · t는 x 대신 시간, y 대신 이동 거리를 쓰고, 기울기가 속력이며 b = 0인 일차함수이므로 직선은 원점을 지난다. 이런 관계를 정비례라고 한다. 시간이 두 배가 되면 이동 거리도 두 배, 세 배가 되면 세 배가 된다.

빠른 자동차, 가파른 그래프

다리 위에서 크루즈 컨트롤 자동차가 72 km/h로 달리는 화물차를 앞지른다. 화물차의 속력은 다음과 같다.

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

두 차의 시간과 이동 거리를 다리에서부터 재고, 두 그래프를 한 그림에 그린다.

자동차는 1초마다 더 많이 가므로 자동차의 빨간 직선은 화물차의 파란 직선보다 가파르다. 이동 거리 그래프가 가파를수록 운동이 빠르다. 화물차가 서 있다면 그 그래프는 기울기가 0인 수평선일 것이다.

그래프에서 값을 읽을 수도 있으므로 모눈을 그려 두었다. 화물차는 3 s 동안 어디까지 갈까? 가로축에서 3을 찾아 점선을 따라 파란 직선에 닿을 때까지 위로 올라간다. 거기서 왼쪽으로 세로축까지 가서 60 m를 읽는다. 거꾸로, 자동차가 다리에서 120 m 떨어진 곳에 언제 있을지 물어보자. 세로축에서 120을 찾아 오른쪽으로 빨간 직선까지 가고, 거기서 아래로 시간 축까지 내려간다. 4 s 뒤이다. 두 답 모두 계산으로 확인할 수 있다.

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

두 직선 사이의 세로 거리는 자동차가 화물차보다 얼마나 앞서 있는지를 보여 준다. 6초 뒤에는 180 m − 120 m = 60 m이다. 앞선 거리는 1초마다 10 m씩 늘어나는데, 이것은 두 속력의 차 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s와 정확히 같다.

자동차가 0에서 시작하지 않을 때

지금까지는 스톱워치를 누른 곳에서부터 이동 거리를 쟀다. 그런데 물체가 이미 얼마쯤 간 뒤에야 스톱워치를 누를 때도 많다. 고속도로 옆에는 기점에서 몇 km인지 알려 주는 거리표가 서 있다. 자동차가 21 km 거리표를 지나고, 그때부터 90 km/h의 일정한 속력으로 달린다. 2시간 뒤에 자동차는 몇 km 지점에 있을까?

2시간 동안 90 km/h · 2 h = 180 km를 간다. 하지만 거리표에는 180이 적혀 있지 않을 것이다. 자동차가 0에서 출발하지 않았기 때문이다. 거리표는 고속도로의 기점에서부터 재므로, 스톱워치를 누른 순간 자동차가 이미 21 km를 지나왔다고 보고 계산한다. 이 거리를 처음 위치라 하고 s₀으로 나타낸다. 그러면 시간 t일 때의 이동 거리는 처음 위치에 스톱워치를 누른 뒤 자동차가 간 거리를 더해서 얻는다.

$$s=s_0+v\cdot t$$

대입한다.

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

2시간 뒤에 자동차는 201 km 지점에 있다. 처음 위치가 0이면 원래 공식 s = v · t가 된다.

그래프는 이제 원점이 아니라 세로축의 높이 s₀ = 21 km, 즉 파란 선분이 나타내는 곳에서 시작한다. 기울기는 여전히 속력이므로 그래프는 1시간마다 90 km씩 올라간다. 회색 점선은 같은 빠르기로 달리지만 고속도로의 기점에서 출발한 자동차의 그래프이다. 두 직선은 기울기가 같으므로 평행하다. 빨간 직선이 s₀만큼 위에 있을 뿐이다. 일차함수 y = a · x + b의 말로 하면 a는 속력이고 b는 처음 위치이다.

거꾸로 물어보자. 자동차는 언제 156 km 지점에 도착할까? 156을 90으로 나누고 싶어지지만, 그러면 고속도로의 기점에서 출발했을 때 걸리는 시간을 구하게 된다. 공식에서 출발해 시간을 나타낸다.

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

대입한다.

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1.5\mathrm{h}$$

자동차는 1시간 반, 즉 1 h 30 min 뒤에 156 km 지점에 도착한다.

엄밀히 말하면 거리표의 수는 자동차가 간 이동 거리가 아니라 자동차가 고속도로의 어디에 있는지를 나타낸다. 자동차가 앞으로만 가는 동안에는 이것이 고속도로의 기점에서부터 갔을 이동 거리와 같다. 이것이 왜 중요한지는 이 글의 끝에서 보게 된다.

속력 그래프

속력도 그래프로 그릴 수 있다. 크루즈 컨트롤 자동차는 시간이 언제든 늘 30 m/s로 달리므로 속력 그래프는 높이 30인 수평선이다.

이 그래프의 어느 축에서도 이동 거리는 찾을 수 없다. 이동 거리는 그래프 아래의 넓이에 숨어 있다. 처음 10초 동안 선 아래에 너비 10 s, 높이 30 m/s인 빨간 직사각형이 생긴다. 그 넓이, 즉 너비 곱하기 높이는 다음과 같다.

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

이것이 바로 자동차가 10초 동안 가는 이동 거리 s = v · t이다. 여기서 넓이는 제곱미터가 아니라 미터로 나온다. 직사각형의 변이 길이가 아니라 속력과 시간이기 때문이다. 흰 선은 직사각형을 1초에 하나씩, 띠 열 개로 나눈다. 띠 하나의 넓이는 30 m/s · 1 s = 30 m로, 처음 애니메이션에서 도로 위의 이웃한 표시 사이의 거리 30 m와 같다.

곱하기만 하면 되는데 왜 넓이를 따질까? 속력 그래프 아래의 넓이는 그래프가 수평이 아닐 때도 이동 거리를 뜻하기 때문이다. 속력이 변하는 운동에서는 속력 그래프가 올라가고, 그 아래에는 직사각형 대신 삼각형이나 사다리꼴이 생긴다. 그때 이동 거리는 그 넓이로 구하고, 삼각형과 직사각형의 넓이 공식만 있으면 된다. 사다리꼴은 이 둘로 나눌 수 있기 때문이다.

서 있을까, 되돌아갈까?

도윤은 아침에 자전거를 타고 집에서 곧은 길을 따라 나선다. 2시간 동안 20 km/h의 일정한 속력으로 달리고, 식당에서 1시간 동안 점심을 먹은 뒤, 같은 속력으로 집에 돌아온다.

이번에는 세로축에 이동 거리가 아니라 위치가 있다. 길을 따라 x축을 긋고 원점을 도윤의 집에 둔다. 그러면 위치 x는 거리표가 자동차가 고속도로의 어디에 있는지 보여 주듯이, 도윤이 길을 따라 집에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타낸다. 회색 점선은 도윤이 간 이동 거리로, 핸들에 단 자전거 속도계가 보여 주는 값이다. 점심이 끝날 때까지는 위치와 겹친다. 빨간 부분은 이미 안다. 2시간 동안 도윤은 40 km를 가고, 그래프는 기울기 20 km/h로 올라간다.

파란 부분은 수평이다. 시간은 흐르지만 도윤은 집에서 40 km 떨어진 곳에 그대로 있으므로 서 있는 것이다. 수평인 그래프는 정지를 뜻한다. 기울기가 0이므로 속력도 0이다.

초록 부분은 내려간다. 도윤이 돌아오면서 위치 x가 1시간마다 20 km씩 줄어든다. 내려가는 그래프는 되돌아가는 운동을 뜻한다. 도윤이 얼마나 빠르게 달리는지는 그래프가 1시간에 얼마나 내려가는지로 알 수 있다. 여기서는 20 km만큼 내려가므로 20 km/h로 달린다. 이제 속도는 아침과 반대 방향이다. 그래서 물리학자들은 속도에 마이너스 부호를 붙이기도 하는데, 이것은 위치 x가 시간에 따라 줄어든다는 뜻이다.

이제 거리표에서 물체가 어디에 있는지와 얼마나 갔는지를 왜 구별했는지 알 수 있다. 자전거 속도계는 이동 거리를 재고, 이동 거리는 시간이 지나도 결코 줄지 않는다. 그래서 점선은 점심 뒤에도 계속 올라가 저녁에는 80 km에서 끝나지만, 위치 그래프는 도윤이 다시 집에 왔으므로 0에서 끝난다. 한 방향으로만 갈 때는 위치와 이동 거리가 처음 값만큼만 다르므로 거리표 문제에서는 이동 거리의 공식 s = s₀ + v · t로 충분했다. 물체가 되돌아갈 때는 위치로 계산해야 한다.

도윤의 나들이 전체는 등속 운동이 아니라 등속 운동 세 토막으로 이루어진다. 하루 전체의 평균 속력은 점심 시간까지 포함한 전체 이동 거리를 전체 걸린 시간으로 나눈 것이다. 전체 이동 거리는 마지막 위치가 아니다. 마지막 위치는 0이다. 점선 그래프가 끝나는 80 km, 즉 40 km + 0 km + 40 km이다.

$$\overline{v}=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

그래프에 수직인 부분은 결코 생기지 않는다. 그것은 도윤이 0초 동안 얼마쯤 떨어진 곳으로 순간 이동했다는 뜻이다. 그리고 왼쪽으로 휘는 그래프는 도윤의 시간이 거꾸로 흐른다는 뜻이다. 아직 둘 다 해낸 사람은 없다.

계산기

첫 번째 계산기는 속력과 시간으로 이동 거리를, 두 번째 계산기는 이동 거리와 속력으로 시간을 구한다. 미리 입력된 값은 글의 예에서 가져왔다. 크루즈 컨트롤을 108 km/h에 맞추고 달린 10초, 그리고 할머니 댁까지 100 km/h로 꾸준히 달리는 길이다.

공식 s = s₀ + v · t와 이동 거리 그래프로는 한 자동차가 다른 자동차를 따라잡거나 두 열차가 마주 보고 달리는 문장제도 풀 수 있다. 그래프에서 탈것마다 직선이 하나씩 있고, 둘이 만나는 곳은 두 직선의 교점이다. 이런 문제는 나중에 다룬다.

그 전에 운동학과 동역학 문제 푸는 법에서, 어떤 물리 문제에서든 도움이 되는 순서를 알아보자. 주어진 조건 정리, 단위 환산, 그림 그리기, 문자로 푼 일반해이다.