속력과 속도

우사인 볼트는 2009년 베를린 세계선수권대회에서 100 m를 9.58 s에 달렸다. 얼마나 빠른 달리기였을까? 처음부터 끝까지 같은 빠르기로 달렸다면 1초마다 다음 거리를 달린 셈이다.

$$\frac{100\mathrm{m}}{9.58\mathrm{s}}\fallingdotseq 10.44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

1초에 10 m 넘게 달린 것이다. 킬로미터 매 시로는 얼마일까?

$$10.44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10.44\cdot 3.6\mathrm{km}/\mathrm{h}\fallingdotseq 37.6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

제한 속도가 50 km/h인 도로라면 볼트는 한동안 자동차와 나란히 달릴 수 있었을 것이다. 적어도 100 m 동안은 말이다. 그보다 오래 그 빠르기를 유지하지는 못했을 것이다.

속력을 구하는 공식

공식만 찾고 있다면, 속력 v는 이동 거리 s를 물체가 그 거리를 가는 데 걸린 시간 t로 나누어 구한다.

$$v=\frac{s}{t}$$

속력은 물체가 단위 시간, 예를 들어 1초나 1시간 동안 가는 거리를 나타낸다. 같은 시간 동안 가는 거리가 길수록 속력이 크다. 같은 거리를 가는 데 더 오래 걸리면 속력은 작아진다. 시간이 분모에 있기 때문이다.

단위는 이동 거리의 단위를 시간의 단위로 나누어 얻는다. 이동 거리를 미터로, 시간을 초로 재면 미터 매 초 m/s가 나온다. 이동 거리를 킬로미터로, 시간을 시간으로 재면 킬로미터 매 시 km/h가 나온다. 두 단위는 수 3.6으로 환산한다. m/s에서 km/h로 바꿀 때는 곱하고, 반대로 바꿀 때는 나눈다.

평균 속력

민준이네 가족은 고속도로로 205 km 떨어진 할머니 댁에 갔다. 휴게소에서 쉰 시간까지 합쳐 2.5 h이 걸렸다. 얼마나 빠르게 간 것일까?

계산해 보자.

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2.5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

그런데 자동차의 속도계는 82 km/h를 거의 가리키지 않았다. 고속도로에서는 110 km/h 안팎을, 요금소 근처의 정체 구간에서는 20 km/h를, 휴게소에서는 0을 가리켰다. 82 km/h는 평균 속력이다. 자동차가 처음부터 끝까지 쉬지 않고 이 속력으로 달려야 같은 시간에 할머니 댁에 도착한다. 평균 속력은 $\overline{v}$로 나타내고 전체 이동 거리를 전체 걸린 시간으로 나누어 구한다.

$$\overline{v}=\frac{s}{t}$$

전체 걸린 시간에는 멈춘 시간을 포함해 모든 시간이 들어간다. 민준이네 가족이 휴게소에서 한 시간 더 쉬었다면 같은 205 km를 3.5 h에 갔을 것이고, 평균 속력은 다음으로 줄어든다.

$$\overline{v}=\frac{205\mathrm{km}}{3.5\mathrm{h}}\fallingdotseq 58.6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

처음에 구한 볼트의 속력 10.44 m/s도 평균 속력이었다. 볼트는 스타팅 블록에서 정지 상태로 출발해 처음 몇 m 동안은 아직 빨라지고 있었으므로, 처음에는 더 느리게, 끝에서는 더 빠르게 달렸다. 베를린의 측정에서 볼트는 60 m 지점과 80 m 지점 사이의 구간, 즉 20 m를 1.61 s에 달렸다.

$$\overline{v}=\frac{20\mathrm{m}}{1.61\mathrm{s}}\fallingdotseq 12.42\mathrm{m}/\mathrm{s}\fallingdotseq 44.7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

그러니 경기 후반의 짧은 구간에서는 100 m 전체의 평균보다 훨씬 빨랐다.

갈 때 60, 올 때 40

이 문제는 거의 모든 사람이 처음에는 틀리기 때문에 시험에 자주 나온다. 준호 씨는 120 km 떨어진 시골집에 자동차를 타고 60 km/h로 간다. 돌아오는 길에는 길이 막혀서 40 km/h로밖에 달리지 못한다. 갔다 오는 길 전체의 평균 속력은 얼마일까?

두 속력을 더해서 2로 나누고 싶어진다.

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

하지만 이것은 틀렸다. 평균 속력은 속력의 평균이 아니라 전체 이동 거리를 전체 걸린 시간으로 나눈 것이다. 그래서 먼저 각 방향으로 얼마나 오래 달렸는지 구한다. 갈 때는 120 km를 60 km/h로 달렸다. 공식 $v=\frac{s}{t}$의 양변에 t를 곱하고 v로 나누어 시간을 나타낸다.

$$t=\frac{s}{v}$$

가는 데 걸린 시간은

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

이고, 돌아오는 데 걸린 시간은 다음과 같다.

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

모두 240 km를 5 h에 달렸다. 평균 속력은 다음과 같다.

$$\overline{v}=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

준호 씨의 평균 속력은 50 km/h가 아니라 48 km/h였다. 2 km/h는 어디로 사라졌을까? 그림을 보면 답이 보인다.

직사각형 하나는 한 시간 동안의 주행을 나타내고, 그 안의 수는 준호 씨가 그 한 시간 동안 달린 킬로미터 수이다. 빨간색인 갈 때는 두 시간, 파란색인 올 때는 세 시간이 걸렸다. 두 길은 모두 120 km로 길이가 같지만, 느린 속력으로 더 오래 달렸다. 다섯 시간의 평균을 내면 40은 세 표를, 60은 두 표만 얻는다.

$$\begin{array}{rl}\overline{v}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

초록 줄은 48 km/h로 다섯 시간 달리면 같은 240 km가 된다는 것을 보여 준다. 평균이 50 km/h가 되는 것은 준호 씨가 두 속력으로 같은 시간 동안, 예를 들어 60으로 한 시간, 40으로 한 시간 달렸을 때뿐이다. 이 문제에서는 같은 시간이 아니라 같은 거리를 달렸으므로 평균이 느린 속력 쪽으로 기울었다.

같은 문제를 거꾸로 낸 것은 더 까다롭다. 준호 씨는 갈 때 역시 60 km/h로 달렸고, 갔다 오는 길 전체의 평균을 80 km/h로 만들고 싶다. 돌아올 때는 얼마나 빠르게 달려야 할까? 100 km/h라는 답이 떠오르지만, 속력은 이렇게 평균을 낼 수 없다는 것을 이미 안다. 길 전체 240 km를 평균 속력 80 km/h로 달리면 다음 시간이 걸린다.

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

그런데 갈 때 이미 두 시간을 썼다. 돌아오는 120 km에는 한 시간밖에 남지 않으므로 120 km/h로 달려야 한다. 평균을 120 km/h로 만들고 싶다면 어떨까? 길 전체를 두 시간에 달려야 하는데, 그 두 시간은 이미 지나갔다. 0초 만에 돌아와야 하므로 아무리 빨리 달려도 불가능하다.

순간 속력

자동차의 속도계는 길 전체의 평균 속력을 보여 주지 않는다. 자동차가 바로 지금 얼마나 빠르게 달리는지를 보여 준다. 이것을 순간 속력이라고 한다. 그런데 공식에는 어떤 이동 거리와 어떤 시간이 필요한데, 한순간은 시간이 전혀 흐르지 않는다. 그러면 순간 속력은 어떻게 구할까?

점점 짧아지는 구간의 평균 속력을 이용한다. 자동차가 신호등에서 출발하고, 100 m 떨어진 곳에 가로등이 있다. 자동차가 바로 가로등 옆을 지날 때 얼마나 빠른지 알고 싶다. 육상 경기에서 시간을 잴 때 쓰는 광센서를 가로등 옆에 하나 두고, 다른 하나를 가로등 뒤로 차례로 100 m, 10 m, 1 m 떨어진 곳에 둔다. 광센서가 자동차가 각 구간을 지나는 데 걸린 시간을 재면 평균 속력을 구할 수 있다.

100 m 구간에서는 평균 속력이 24.14 m/s였다. 그런데 자동차는 100 m 내내 빨라지고 있었으므로 구간 끝에서는 가로등 옆에서보다 훨씬 빨랐고, 그래서 평균이 더 크게 나왔다. 10 m 구간에서는 자동차가 덜 빨라지고, 1 m 구간에서는 거의 빨라지지 않는다. 구간이 짧을수록 그 동안 속력이 덜 바뀌므로 평균 속력은 가로등 옆에서의 속력에 더 가까워진다. 결과는 20 m/s 근처로 모인다. 10 cm 구간이라면 20.005 m/s가, 1 mm라면 그보다 조금 더 작은 값이 나올 것이다. 그러니 가로등 옆에서 자동차의 순간 속력은 20 m/s, 즉 20 · 3.6 km/h = 72 km/h이다. 그 순간 속도계가 가리키는 값이 바로 이것이다.

즉 순간 속력은 아주 짧은 구간에서의 평균 속력이다. 물체가 가는 짧은 거리를 Δs로, 그 거리를 가는 데 걸린 시간을 Δt로 쓴다. 그리스 문자 Δ는 변화를 뜻한다. 그러면 다음과 같다.

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

여기서 시간 Δt는 그 동안 속력이 눈에 띄게 바뀌지 않을 만큼 짧아야 한다. 얼마나 짧아야 충분한지는 운동에 따라 다르다. 크루즈 컨트롤을 켜고 고속도로를 달리는 자동차는 1초 동안 속력이 아주 조금만 바뀐다. 벽에 부딪치는 자동차는 0.1초 만에 멈춘다.

등속 운동은 같은 시간 동안 같은 거리를 가는 운동이다. 이제 다르게도 말할 수 있다. 순간 속력이 바뀌지 않는 운동이다. 속도계는 늘 같은 수를 가리키고, 어느 구간에서든 평균 속력은 순간 속력과 같다. 속력이 변하는 운동에서는 순간 속력이 바뀌고, 평균 속력은 가장 작은 순간 속력과 가장 큰 순간 속력 사이의 어떤 수일 뿐이다.

더 알고 싶은 사람을 위해: 미분

극한과 미분을 이미 아는 사람은 표에서 무엇을 했는지 알아볼 것이다. 시간 Δt를 줄여 가면서 몫 $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$가 어디로 가까워지는지 보았다. 수학자라면 순간 속력은 이 몫의 극한, 즉 이동 거리를 시간에 대해 미분한 것이라고 말할 것이다.

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

표의 자동차는 신호등에서 출발해 시간 t 동안 이동 거리 s = 1 m/s² · t²을 갔고, 10초 뒤에 가로등 옆에 있었다. t²을 미분하면 2t이므로 다음과 같다.

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

이것이 바로 표의 값이 가까워지던 값이다. 이 단원의 다른 글에서는 미분 없이도 충분하다.

벡터로서의 속도

자동차가 회전교차로를 도는 동안 속도계는 내내 같은 30 km/h를 가리킨다. 자동차의 속도는 바뀔까, 바뀌지 않을까?

속도는 벡터이다. 자동차가 얼마나 빠르게 가는지만 알아서는 부족하고, 어디로 가는지도 중요하다. 속도의 화살표는 $\overrightarrow{v}$로 나타낸다. 그 크기 $v=|\overrightarrow{v}|$가 속도계가 가리키는 값, 즉 속력이다. 화살표는 물체가 바로 지금 움직이는 쪽을 가리킨다.

그림에서 자동차는 회전교차로에서 다니는 대로 회색 점선 원을 따라 시계 반대 방향으로 돈다. 빨간 화살표는 자동차의 속도이다. 연한 화살표 ${\overrightarrow{v}}_1$부터 ${\overrightarrow{v}}_4$까지는 4분의 1 바퀴마다 네 곳에서의 자동차의 속도를 나타낸다. 애니메이션에서 자동차는 회전교차로를 빙빙 돌고, 그 화살표는 차례로 이 화살표들과 겹친다. 속도계가 늘 30 km/h를 가리키므로 화살표의 길이는 내내 같다. 하지만 방향은 쉬지 않고 바뀐다.

이제 네 화살표를 모두 한 점으로 옮기자. 화살표는 돌리거나 길이를 바꾸지 않는다면 옮겨도 되므로 여전히 같은 벡터이다.

네 화살표는 모두 같은 점선 원에서 끝나므로 크기가 같다. $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$이다. 하지만 저마다 다른 쪽을 가리키므로 서로 다른 네 벡터이다. ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$이다. 그러니 질문의 답은 이렇다. 속도계는 늘 같은 값을 가리키지만 자동차의 속도는 바뀐다. 그 방향이 바뀐다. 속도계는 속도의 크기만 보여 줄 뿐 방향은 보지 못한다.

등속 운동은 이동 거리로 알아보았는데, 이동 거리에는 방향이 없다. 그래서 속도의 크기가 바뀌지 않는 운동을 등속 운동으로 본다. 회전교차로의 자동차는 등속으로 달리지만, 벡터로서의 속도는 바뀐다. 이것이 중요한 차이라는 것은 자동차 안에서 직접 느낄 수 있다. 운전자가 가속 페달도 브레이크도 밟지 않는데도 굽은 길에서는 몸을 버텨야 한다. 왜 그런지는 나중에 가속도에서 설명한다.

화살표가 왜 접선, 즉 그곳에서 운동 경로에 닿기만 하는 직선을 따라가는지 설명할 일이 남았다. 다시 평균 속도로 돌아가는데, 이번에는 벡터로 본다. 자동차가 시간 Δt 동안 점 A에서 운동 경로의 다른 점으로 옮겨 간다. 그 변위는 화살표 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$이고, 벡터로서의 평균 속도는 다음과 같다.

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

주의하자. 이 벡터의 크기는 일반적으로 이동 거리를 시간으로 나눈 것과 같지 않다. 변위는 보통 이동 거리보다 짧고, 아주 짧은 구간에서만 이동 거리와 같아진다.

벡터를 수로 나누는 것은 수 $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$를 곱하는 것과 같다. 화살표는 줄어들거나 늘어날 뿐 방향은 그대로이므로 평균 속도는 변위와 같은 쪽을 향한다.

그림은 자동차가 왼쪽에서 오른쪽으로 달리는 검은 운동 경로를 보여 준다. 초록 화살표는 점점 짧아지는 시간 동안 점 A에서 A에 점점 가까운 점으로 가는 변위이다. 긴 변위는 비스듬히 위를 향하고, 짧은 변위는 덜 그렇다. 시간이 짧을수록 화살표는 회색 점선 접선에 더 가까이 붙는다. 순간 속도는 아주 짧은 구간에서의 평균 속도이므로 접선 방향, 그림에서는 빨간 화살표 방향을 향한다.

운동 경로의 접선을 눈으로 볼 수도 있다. 그라인더에서 튀는 불꽃은 쇳조각이 원판에서 떨어져 나간 순간 움직이던 방향, 즉 접선 방향으로 날아간다. 빙빙 돌린 우산에서 튀는 물방울도 마찬가지이다. 회전교차로를 돌던 자동차가 빙판에 올라 바퀴가 미끄러지면 원을 따라가지 않고 속도 화살표 방향으로 거의 곧게 나아갈 것이다.

여러 가지 물체의 속력

감을 잡을 수 있도록 대표적인 속력을 반올림해서 몇 가지 들어 둔다.

표의 소리의 속력은 온도가 20 °C인 공기에서의 값이다. 소리는 빛에 비하면 느리므로 천둥소리를 듣기 전에 번개가 먼저 보인다. 빛은 사실상 바로 도착하지만 소리는 1 km를 가는 데 약 3초가 걸린다. 번개와 천둥 사이에 9초를 세었다면 뇌우는 대략 3 km 떨어져 있다. 빛은 무엇보다 빠르다. 달에서 지구까지 1초 조금 넘게, 태양에서는 약 8분 걸린다.

계산기

이동 거리와 시간을 입력하면 계산기가 평균 속력을 구한다. 미리 입력된 값은 민준이네 가족이 할머니 댁에 간 길의 값이다.

가장 간단한 운동은 속도가 크기도 방향도 전혀 바뀌지 않는 운동이다. 이런 운동은 등속 직선 운동이고, 다음 글 등속 직선 운동에서 다룬다.