뉴턴 운동 제2법칙 (가속도 법칙)

마트에 쇼핑 카트 두 대가 나란히 있다. 하나는 비어 있고 질량이 10 kg이며, 다른 하나는 물과 통조림을 싣고 있어 25 kg이다. 두 카트를 똑같이 50 N의 힘으로 민다. 빈 카트는 쏜살같이 튀어 나가고, 가득 찬 카트는 느릿느릿 움직이기 시작한다. 얼마나 다른지는 뉴턴 운동 제2법칙이 알려 준다. 이 법칙을 가속도 법칙이라고도 한다. 간단히 하려고 바퀴의 마찰은 무시한다.

두 카트는 정지 상태에서 출발하고, 주황색 표시는 일정한 시간 간격마다 카트 앞부분의 위치를 나타낸다. 두 카트 모두 간격이 점점 벌어지므로 둘 다 가속도가 있다. 그런데 빈 카트는 같은 시간 동안 가득 찬 카트보다 2.5배 먼 거리를 간다. 가속도가 2.5배 크기 때문이다. 힘의 화살표는 두 카트에서 길이가 같다. 차이를 만드는 것은 짐뿐이다.

가속도 법칙

아이작 뉴턴은 1687년에 이 법칙을 대략 다음과 같이 나타냈다.

운동의 변화는 작용한 힘에 비례하고, 힘이 작용하는 직선의 방향으로 일어난다.

질량이 빠진 것처럼 보이지만 그렇지 않다. 뉴턴이 말한 운동은 질량과 속도의 곱이므로 그 안에 질량이 숨어 있다.

오늘날의 말로 하면, 물체에 작용하는 힘이 클수록 가속도가 크고, 물체의 질량이 클수록 가속도가 작다.

$$a=\frac{F}{m}$$

힘을 2배로 하면 가속도도 2배가 된다. 질량을 2배로 하면 가속도는 절반으로 줄어든다. 흔히 이 법칙은 양변에 질량을 곱한 꼴로 쓴다.

$$F=m\cdot a$$

힘과 가속도는 벡터이므로 완전하게 쓰면 $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$이다. 가속도는 언제나 힘과 같은 쪽을 향한다. 카트를 앞으로 밀면 가속도는 앞쪽을 향한다. 뒤로 끌면 가속도는 뒤쪽을 향하고, 카트가 앞으로 가고 있었다면 느려진다.

한 가지에 주의하자. $\overrightarrow{F}$는 물체에 작용하는 모든 힘의 알짜힘이지, 가장 먼저 눈에 띄는 힘만이 아니다. 알짜힘이 0이면 가속도도 0이고, 물체는 정지해 있거나 등속 직선 운동을 한다. 뉴턴 운동 제1법칙이 말하는 내용이 이것이고, 제2법칙은 제1법칙을 특별한 경우로 품고 있다.

카트로 돌아가 가속도를 구해 보자. 먼저 빈 카트이다.

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

그리고 가득 찬 카트이다.

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

왜 미터 매 초 제곱이 나왔는지는 곧 설명한다. 가속도가 5 m/s²이라는 것은 빈 카트의 속력이 1초마다 5 m/s씩 늘어난다는 뜻이고, 가득 찬 카트는 2 m/s씩만 늘어난다. 가득 찬 카트는 질량이 2.5배이므로 가속도는 2.5분의 1이다. 빈 카트를 2배 세게, 즉 100 N의 힘으로 밀면 가속도는 2배인 10 m/s²이 될 것이다.

하지만 카트를 오래 미는 사람은 없다. 0.5초 동안 밀면 빈 카트는 5 m/s² · 0.5 s = 2.5 m/s까지, 가득 찬 카트는 2 m/s² · 0.5 s = 1 m/s까지만 빨라진다.

관성의 크기를 나타내는 질량

물체는 힘이 속도를 바꾸게 하지 않는 한 자기 속도를 유지한다. 이것을 관성이라고 한다. 제2법칙은 여기에 수를 더한다. 질량이 클수록 물체는 속도 변화에 더 크게 저항한다. 질량은 관성의 크기이다.

그래서 빈 카트는 손가락 하나로 움직일 수 있지만, 굴러가는 가득 찬 카트를 멈추려면 꽤 힘이 든다. 대형 트럭이 승용차보다 훨씬 강한 엔진을 가졌는데도 신호등에서 더 천천히 출발하는 것도 같은 이유이다.

크기가 크다고 해서 질량이 큰 것은 아니다. 비치발리볼 공은 볼링공보다 크지만, 볼링공은 차고 싶지 않을 것이다. 볼링공은 질량이 훨씬 커서 같은 세기로 차도 조금만 움직이고, 발이 공에 막혀 버린다.

물체가 무게를 느끼지 않는 곳에서도 관성에서 벗어날 수는 없다. 우주 정거장의 우주 비행사는 100 kg짜리 상자를 한 손으로 들어 올린다. 상자와 정거장이 함께 지구 둘레를 자유 낙하하므로 상자가 무중력 상태에서 둥둥 떠 있기 때문이다. 하지만 상자를 정거장 안에서 움직이거나 멈추려 하면 지구에서와 똑같이 힘을 주어야 한다. 상자의 질량은 여전히 100 kg이고 관성도 같다.

뉴턴이라는 단위는 어디에서 왔을까

힘의 단위는 뉴턴 N = kg·m/s²이다. 왜 하필 이런지는 제2법칙이 설명한다. 뉴턴은 이 법칙으로 정의되기 때문이다. 1뉴턴은 질량이 1 kg인 물체에 1 m/s²의 가속도를 생기게 하는 힘이다. F = m · a에 대입한다.

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

여기서 카트의 가속도의 단위도 나온다. 뉴턴을 킬로그램으로 나눈다.

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

킬로그램이 약분되고 미터 매 초 제곱이 남는다.

1뉴턴은 얼마나 클까? 작은 사과를 손에 들고 있을 때의 힘 정도이다. 완벽하게 매끄러운 얼음 위에 질량이 약 1 kg인 1 L짜리 물병을 세우고, 늘 같은 힘 1 N으로 끌어 보자. 물병은 내내 빨라진다. 1초 뒤에는 1 m/s, 2초 뒤에는 2 m/s로 움직인다. 일정한 힘은 속도를 일정하게 유지하는 것이 아니라 계속 바꾼다.

자동차가 출발하는 힘

질량이 1,200 kg인 가족용 자동차는 10초 만에 0에서 100 km/h까지 빨라지므로 가속도는 약 2.8 m/s²이다. 이렇게 되려면 자동차에 얼마의 알짜힘이 작용해야 할까?

$$\begin{array}{rl}m& =\mathrm{1,200}\mathrm{kg}\\ a& =2.8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

공식이 이미 구하는 꼴로 되어 있으므로 곧바로 대입한다.

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =\mathrm{1,200}\mathrm{kg}\cdot 2.8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =\mathrm{3,360}\mathrm{N}\end{array}$$

단위도 맞는다. 킬로그램 곱하기 미터 매 초 제곱은 뉴턴이다. 자동차에는 약 3,360 N, 즉 3 kN이 넘는 알짜힘이 작용해야 한다. 알짜라는 말에 주목하자. 자동차의 운동을 방해하는 공기 저항과 타이어의 구름 저항도 작용하므로, 도로는 바퀴를 통해 자동차를 그보다 조금 더 세게 밀어야 한다.

여러 힘이 함께 작용할 때

대개 물체에는 여러 힘이 작용하고, 이때는 언제나 같은 순서로 푼다.

• 물체에 작용하는 힘을 그리고 양의 방향을 정한다,
• 힘을 더해서 알짜힘을 구한다,
• 알짜힘을 질량으로 나누어 가속도를 구한다.

관심 있는 물체에 작용하는 힘만 그린다. 자동차가 도로를 미는 힘은 자동차의 가속도를 계산하는 데 들어가지 않는다. 그 힘은 도로에 작용하기 때문이다. 동역학 전체가 이 순서 위에 서 있고, 다음 글들에서는 새로운 종류의 힘만 더해진다.

앞의 예제의 자동차가 이번에는 국도를 달리고, 운전자가 가속 페달을 밟는다. 도로는 바퀴를 통해 자동차를 F₁ = 3,000 N의 힘으로 앞으로 밀고, 공기 저항과 구름 저항은 F₂ = 600 N의 힘으로 자동차를 늦춘다.

빨간 화살표는 견인력, 파란 화살표는 저항, 초록 화살표는 알짜힘이고, 모두 같은 축척으로 그렸다. 연직 방향으로는 중력이 자동차를 아래로 당기고 도로가 같은 크기의 힘으로 자동차를 위로 민다. 두 힘은 서로 상쇄되므로 그림에 그리지 않는다.

달리는 방향을 양의 방향으로 정한다. 두 힘은 방향이 반대이므로 크기를 뺀다.

$$F=F_1-F_2=\mathrm{3,000}\mathrm{N}-600\mathrm{N}=\mathrm{2,400}\mathrm{N}$$

질량으로 나눈다.

$$a=\frac{F}{m}=\frac{\mathrm{2,400}\mathrm{N}}{\mathrm{1,200}\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

자동차의 가속도는 2 m/s²이다. 견인력만 질량으로 나누는 실수가 흔하다. 그러면 2.5 m/s²이 나오는데, 너무 큰 값이다. 이런 계산에서는 공기 저항이 빠져 버리기 때문이다.

같은 순서는 다른 상황에서도 통한다. 고속도로에서 자동차가 일정한 속력으로 달리고, 이때 저항은 약 600 N이며 견인력은 저항과 크기가 같다. 알짜힘이 0이므로 가속도도 0이다. 운전자가 가속 페달에서 발을 떼면 견인력은 사라지고 양의 방향과 반대쪽을 향하는 저항만 남는다(엔진 브레이크는 무시한다).

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{\mathrm{1,200}\mathrm{kg}}=-0.5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

가속도가 음수이므로 자동차는 느려진다.

이 순서는 거꾸로, 가속도에서 힘으로도 쓸 수 있다. 저항 600 N이 있는 상태에서 자동차의 가속도가 2.8 m/s²이 되려면 견인력이 얼마여야 할까? 앞에서 계산했듯이 알짜힘은 F = m · a = 3,360 N이어야 한다. 알짜힘의 관계식에서 견인력을 나타낸다.

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

값을 대입한다.

$$F_1=\mathrm{3,360}\mathrm{N}+600\mathrm{N}=\mathrm{3,960}\mathrm{N}$$

견인력은 거의 4 kN에 이르러야 한다. 저항을 잊은 사람의 자동차는 계산한 것보다 더 천천히 출발할 것이다.

무거운 물체와 가벼운 물체가 똑같이 떨어지는 이유

자유 낙하에서는 한 장소의 모든 물체가 같은 가속도 $g\fallingdotseq 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$을 가진다. 돌도 열쇠도 마찬가지이다. 무거운 돌은 지구가 더 큰 힘으로 끌어당기므로 더 빨리 떨어져야 한다고 생각하기 쉽다. 실제로 더 세게 끌어당기지만, 무거운 돌은 질량도 커서 속도 변화에 더 크게 저항한다.

1 kg이 얼마나 무거운지는 용수철저울이 보여 준다. 지구는 1 kg마다 약 9.81 N의 힘으로 끌어당긴다. 그러니 중력은 질량에 정비례한다.

$$W=m\cdot g$$

여기서 g는 1 kg당 힘, 즉 N/kg으로 나오는데, 이 단위는 m/s²과 같다. 지구는 질량이 0.5 kg인 공을 약 4.9 N의 힘으로, 질량이 5 kg인 볼링공을 10배 큰 약 49 N의 힘으로 끌어당긴다. 하지만 볼링공은 질량도 10배이다.

$$a=\frac{W}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4.9\mathrm{N}}{0.5\mathrm{kg}}\fallingdotseq 9.8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

힘이 10배, 질량이 10배이므로 가속도는 같다. 일반적으로 $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$이고, 질량은 약분된다.

질량은 두 가지 역할을 한다. 지구가 물체를 얼마나 세게 끌어당기는지를 정하고, 동시에 물체가 속도 변화에 얼마나 저항하는지를 정한다. 두 역할에 같은 수가 나오는 것은 당연한 일이 아니다. 측정으로 확인하는 사실이며, 엄청나게 높은 정밀도로 성립한다. 그 덕분에 망치는 못과 똑같이 떨어진다.

공기 중에서는 위쪽을 향하는 저항이 더해지고, 알짜힘은 중력에서 저항을 뺀 것이 된다. 돌에서는 저항이 중력에 비해 무시할 만큼 작지만, 무게가 거의 없는 깃털에서는 저항이 중력을 거의 다 상쇄한다. 그래서 지구에서 깃털은 하늘하늘 떠다니고 돌은 떨어진다. 공기 저항은 물체의 질량이 아니라 모양과 속력에 따라 달라진다. 크기가 같은 강철 구슬과 스타이로폼 구슬은 같은 속력일 때 공기가 똑같이 늦춘다. 하지만 질량이 클수록 저항이 가속도에서 덜어 내는 몫이 작으므로, 강철 구슬은 아주 조금만 늦춰지고 스타이로폼 구슬은 눈에 띄게 늦춰진다.

좌석이 등을 미는 이유

자동차가 갑자기 출발하면 등받이가 등을 미는 것이 느껴진다. 이것이 몸에 자동차와 같은 가속도를 생기게 하는 힘이고, 이제 이 힘을 계산할 수 있다. 조수석에 앉은 사람의 질량은 60 kg이다. 가속도가 2.8 m/s²인 가족용 자동차에서 등받이는 다음 힘으로 민다.

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2.8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

가속도가 9.3 m/s²인 스포츠카에서는 다음과 같다.

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9.3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

비교하자면 아래에서 좌석이 받쳐 주는 힘은 중력과 같은 $60\mathrm{kg}\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\fallingdotseq 589\mathrm{N}$이다. 그러니 등받이는 아래에서 좌석이 받치는 힘과 거의 같은 세기로 등을 밀고, 그래서 수평 방향으로 거의 1g를 느낀다고 말한다. 두 힘의 비는 가속도의 비 $\frac{9.3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\fallingdotseq 0.95$와 같다. 여기서도 사람의 질량은 약분된다.

이렇게 제2법칙은 힘이 물체에 무엇을 하는지 알려 준다. 남은 질문은 힘이 어디에서 오고 누구에게 작용하는가이다. 카트를 밀면 카트가 손을 되미는 것이 느껴진다. 이것을 다루는 것이 뉴턴 운동 제3법칙이다.

힘이 쌍으로 어떻게 작용하는지는 다음 글 뉴턴 운동 제3법칙에서 알아본다.