가속도

자동차 회사들은 자기 차가 0에서 시속 100 km까지 몇 초 만에 빨라지는지 자랑하기를 좋아한다. 흔한 가족용 자동차라면 대략 10초가 나온다. 이 수는 무엇을 말해 줄까? 먼저 시속 100 km를 미터 매 초로 바꾸어 보자.

$$100\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{100}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\fallingdotseq 27.8\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

자동차는 10초 동안 속력이 27.8 m/s만큼 늘어난다. 고르게 빨라진다면 1초마다 그 10분의 1인 2.78 m/s, 반올림하면 2.8 m/s씩 빨라질 것이다. 1초 뒤에는 2.8 m/s, 2초 뒤에는 5.6 m/s, 3초 뒤에는 8.4 m/s, 10초 뒤에는 앞에서 구한 27.8 m/s로 달린다. 속도가 1초 동안 얼마나 변하는지 나타내는 물리량을 가속도라고 한다.

그림에는 도로 두 개가 위아래로 있다. 두 자동차는 1초마다 주황색 표시를 남긴다. 위의 자동차는 처음부터 끝까지 같은 빠르기 7 m/s로 달리므로 표시 사이의 간격이 일정하다. 아래의 자동차는 정지 상태에서 출발해 1초마다 2.8 m/s씩 빨라진다. 첫 1초 동안은 1.5 m도 채 못 가지만, 그 뒤로는 점점 빨라지므로 1초마다 더 많이 간다. 그래서 표시 사이의 간격이 점점 벌어진다. 얼마나 벌어지는지는 곧 계산해 보자. 5초 뒤에 두 자동차는 출발점에서 35 m 떨어진 같은 곳에 있다. 아래의 자동차는 처음에 뒤처졌지만 나중에는 더 빨리 달려서 결승점에서 위의 자동차를 따라잡았다.

가속도를 구하는 공식

공식만 찾고 있다면, 가속도 a는 속도의 변화량 Δv를 그 변화에 걸린 시간 Δt로 나누어 구한다.

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

그리스 문자 Δ는 변화를 뜻한다. 속도의 변화량은 나중 속도와 처음 속도의 차이다. 처음 속도를 v₀, 나중 속도를 v로 나타낸다.

$$\mathrm{\Delta }v=v-v_0$$

처음에 나온 자동차의 조건을 적어 보자.

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =100\mathrm{km}/\mathrm{h}\fallingdotseq 27.8\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =10\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

값을 대입한다.

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{27.8\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{10\mathrm{s}}\fallingdotseq 2.8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

가족용 자동차의 가속도는 약 2.8 m/s²이다. 실제로 자동차는 내내 똑같이 빨라지지 않는다. 기어가 높아질수록 덜 빨라진다. 그래서 계산한 값은 10초 전체 동안의 평균 가속도이다. 순간 가속도는 순간 속력과 같은 방법으로 구한다. 그동안 가속도가 눈에 띄게 변하지 않을 만큼 짧은 시간 Δt 동안의 속도 변화를 재는 것이다. 미분을 아는 사람은 여기서 속도를 시간에 대해 미분한 a = v'(t)를 알아볼 것이다.

단위가 미터 매 초 제곱인 이유

가속도의 단위는 속도의 단위를 시간의 단위로 나누어 얻는다. 어떤 수로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것과 같다.

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{s}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

분모에 초가 두 번 있는 것이 이상해 보이지만, 둘은 저마다 다른 이유로 거기에 있다. 하나는 속도에 속하고(자동차가 1초에 몇 미터를 가는지), 다른 하나는 그 속도가 얼마 동안 변했는지를 나타낸다. 그래서 2.8 m/s²은 “1초마다 2.8 m/s씩 빨라진다”라고 읽으면 된다.

킬로미터 매 시로 계산하기를 좋아한다면 이렇게 말할 수도 있다. 10초 만에 0에서 시속 100 km가 되는 자동차는 1초마다 10 km/h씩 빨라진다. 1초마다 10 km/h라는 결과도 어엿한 가속도이다. 다만 시간과 초를 섞어 쓰므로 아무도 쓰지 않는 단위일 뿐이다.

헷갈리지 않도록 주의하자. 가속도가 크다고 해서 속력이 큰 것은 아니다. 크루즈 컨트롤을 110 km/h에 맞추고 고속도로를 달리는 자동차는 속도가 변하지 않으므로 가속도가 0이다. 초록불에 출발하는 자동차는 처음에 속력이 거의 0이지만 가속도는 꽤 크다. 가속도는 물체가 얼마나 빠르게 움직이는지가 아니라 속도가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타낸다.

표시 사이의 간격이 벌어지는 이유

그림의 아래 자동차를 다시 보자. 가속도가 2.8 m/s²이므로 첫 1초 동안 0에서 2.8 m/s까지 빨라진다. 속력이 고르게 늘어나므로 첫 1초 동안의 평균 속력은 그 절반인 1.4 m/s이고, 1.4 m를 간다. 다음 1초 동안에는 2.8 m/s에서 5.6 m/s까지 빨라지므로 평균 4.2 m/s로 4.2 m를 간다. 첫 1초 동안의 3배이다. 셋째 1초 동안에는 위의 자동차와 같은 평균 7 m/s로 달려서 똑같이 7 m를 간다.

1초마다 평균 속력은 2.8 m/s씩 커지므로 1초 동안 가는 거리는 2.8 m씩 늘어난다. 표시 사이의 간격은 차례로 1.4 m, 4.2 m, 7 m, 9.8 m, 12.6 m로 비가 1:3:5:7:9이고, 모두 더하면 35 m이다. 위의 자동차는 내내 7 m/s로 달려서 5초 동안 역시 35 m를 간다. 평균 속력이 1초의 처음 속력과 나중 속력의 한가운데에 있는 것은 속력이 고르게 늘어날 때뿐이다. 그 이유는 등가속도 직선 운동에서 설명한다.

브레이크를 밟을 때

자동차가 72 km/h, 즉 20 m/s로 달리다가 운전자가 브레이크를 밟아 4 s 만에 멈춘다. 나중 속도는 0이고 처음 속도는 20 m/s이다.

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

가속도가 음수로 나왔다. 자동차의 속도는 늘어나지 않고 오히려 1초마다 5 m/s씩 줄어든다. 일상에서는 감속이라고 하지만, 물리학에서는 자동차가 가속도 −5 m/s²으로 느려진다고, 또는 크기가 5 m/s²인 감속을 한다고 말한다. 둘은 같은 뜻이다.

그렇다면 마이너스 부호는 실제로 무엇을 뜻할까? 속도는 벡터이고 가속도도 벡터이다. 가속도의 화살표 $\overrightarrow{a}$는 속도가 어느 쪽으로 변하는지를 가리킨다.

두 자동차 모두 오른쪽으로 달리므로 빨간 속도 화살표 $\overrightarrow{v}$는 오른쪽을 가리킨다. 위의 자동차는 빨라지므로 초록색 가속도 화살표 $\overrightarrow{a}$가 속도와 같은 쪽을 가리킨다. 1초마다 속도에 조금씩 더해져 속도 화살표가 길어진다. 아래의 자동차는 브레이크를 밟으므로 가속도가 반대쪽, 즉 뒤쪽을 가리킨다. 속도 화살표는 1초마다 짧아져 마침내 남는 것이 없다. 직선 위에서는 방향을 부호만으로 나타낼 수 있다. 브레이크를 밟는 자동차에서처럼 양의 방향을 달리는 방향으로 정하면, 양의 가속도는 속도와 같은 쪽을 가리키고 물체는 빨라진다. 음의 가속도는 속도와 반대쪽을 가리키고 물체는 느려진다.

곡선 도로에서의 가속도

자동차가 회전교차로를 도는 동안 속도계는 줄곧 54 km/h를 가리킨다. 그래도 속도 화살표가 쉬지 않고 돌아가므로 벡터로서의 속도는 변한다. 그리고 속도가 변하는 곳에는 가속도가 있다. 벡터로서의 가속도는 단위 시간 동안의 속도 벡터의 변화이다.

$$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{\mathrm{\Delta }t}$$

두 벡터의 차는 두 화살표를 한 점으로 옮겨서 구한다. 그러면 차 ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$은 ${\overrightarrow{v}}_1$의 끝점에서 ${\overrightarrow{v}}_2$의 끝점으로 가는 화살표이다. 이 화살표를 ${\overrightarrow{v}}_1$에 더하면 ${\overrightarrow{v}}_2$가 되기 때문이다. 회전교차로에서 속도 화살표들은 길이가 같지만 가리키는 쪽이 다르므로 그 차는 영벡터가 아니다. 일정한 속력으로 곡선 도로를 도는 자동차의 가속도는 0이 아니다. 이 가속도는 가속 페달이나 브레이크가 아니라 방향을 트는 것에서 생긴다.

예제: 자동차가 회전교차로의 4분의 1을 54 km/h = 15 m/s의 일정한 속력으로 3 s 동안 돈다. 처음에는 동쪽으로, 마지막에는 북쪽으로 달린다. 평균 가속도의 크기와 방향을 구하시오. 조건을 적는다.

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =3\mathrm{s}\\ a& =?\end{array}$$

화살표 ${\overrightarrow{v}}_1$은 동쪽, 그림에서는 오른쪽을 가리키고, 화살표 ${\overrightarrow{v}}_2$는 북쪽, 즉 위쪽을 가리킨다.

오른쪽 그림에서 두 화살표는 한 점으로 옮겨져 직각을 이룬다. 초록색 차 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$는 ${\overrightarrow{v}}_1$의 끝점에서 ${\overrightarrow{v}}_2$의 끝점으로 가므로, 왼쪽으로 15 m/s, 위쪽으로 15 m/s 간다. 이 화살표는 직각삼각형의 빗변이므로 그 크기는 피타고라스 정리로 구한다.

$$\mathrm{\Delta }v=\sqrt{{15}^2+{15}^2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\sqrt{450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\fallingdotseq 21.2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

차는 비스듬히 왼쪽 위, 즉 북서쪽을 가리킨다. 왼쪽 그림에서 4분의 1 구간의 한가운데에서 회전교차로의 중심으로 가는 회색 화살표와 같은 방향이다. 가속도는 속도의 변화량을 시간으로 나누어 얻는다. 수로 나누면 화살표는 짧아질 뿐이므로 가속도도 회전교차로의 중심을 향한다. 값을 대입한다.

$$a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\fallingdotseq \frac{21.2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\fallingdotseq 7.1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

자동차의 평균 가속도는 회전교차로의 중심 쪽으로 약 7.1 m/s²이다. 마른 도로에서 급브레이크를 밟을 때의 약 7 m/s²과 거의 같은데, 그러는 동안에도 속도계는 줄곧 54 km/h를 가리킨다. 그래서 운전자가 가속 페달도 브레이크도 밟지 않아도 곡선 도로에서는 몸을 버텨야 한다. 여기서 구한 것은 4분의 1 바퀴 전체 동안의 평균 가속도이다. 곡선 도로의 각 지점에서의 순간 가속도는 구심 가속도에서 구한다.

g의 몇 배인가

자동차의 가속도는 몸으로 느낄 수 있다. 스포츠카는 출발할 때 몸을 좌석에 짓누른다. 그 세기는 중력 가속도 $g\fallingdotseq 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$과 비교한다. 손에서 놓은 돌은 공기가 방해하지 않으면 이 가속도로 떨어진다. 스포츠카는 0에서 시속 100 km까지 3초 만에 빨라질 수 있으므로 가속도는

$$a=\frac{27.8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\fallingdotseq 9.3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,$$

로, 떨어지는 돌과 거의 같다.

G(지)는 좌석, 바닥, 등받이가 몸을 가만히 앉아 있을 때의 몇 배로 세게 미는지를 나타낸다. 지금 의자에 앉아 있다면 빨라지고 있지 않은데도 1g이다. 그러니 G는 가속도와 같은 것이 아니다. 4g에서는 좌석이 몸을 4배로 세게 밀어서, 마치 몸무게가 4배가 된 것처럼 느껴진다.

스포츠카에서 가속 페달을 끝까지 밟으면 등받이가 등을 미는 힘이 아래에서 좌석이 미는 힘과 거의 같아진다. 자동차가 떨어지는 돌과 거의 같은 가속도로 빨라지기 때문이다. 롤러코스터는 골짜기나 루프의 가장 낮은 곳에서 3에서 4g로 몸을 좌석에 밀어붙인다. 그곳에서 차량은 내려가던 방향을 빠르게 바꾸어 올라가는데, 이것이 위쪽을 향하는 큰 가속도이다.

내려가는 동안에는 좌석이 가만히 앉아 있을 때보다 약하게 밀고, 골짜기의 가장 낮은 곳에서는 약 3배로 세게 민다.

전투기 조종사는 급선회할 때 9g까지 견딘다. 하지만 피가 머리에서 다리로 쏠리는 것을 막아 주는 특수한 비행복을 입었을 때뿐이다. 훈련받지 않은 사람은 이런 G에서 몇 초 만에 정신을 잃을 것이다. 흥미롭게도 자유 낙하할 때는 빨라지고 있는데도 아무것도 느끼지 못한다. 아무것도 몸을 밀지 않으므로 G는 0이고 몸은 무중력 상태에 있다. 왜 가속도를 좌석이 미는 힘으로 느끼는지는 힘을 다루는 동역학에서 설명한다.

가장 간단한 운동은 그림의 아래 자동차처럼 가속도가 전혀 변하지 않는 운동이다. 이때 속도는 1초마다 같은 만큼씩 늘어나고, 어느 순간의 이동 거리와 속도든 간단한 공식으로 구할 수 있다. 이런 운동은 다음 글 등가속도 직선 운동에서 다룬다.