뉴턴 운동 제3법칙 (작용 반작용 법칙)

스케이트 선수 서윤이 얼음 위에서 펜스를 마주 보고 서서 두 손바닥으로 펜스를 짚고 민다. 서윤은 뒤로 미끄러지며 펜스에서 멀어진다. 그동안 아무도 서윤을 밀지 않았다. 민 사람은 서윤이고, 그것도 자기 자신이 아니라 펜스를 밀었다. 그런데 물체는 저절로 움직이기 시작하지 않는다. 무엇인가가 힘을 작용해야 한다. 그렇다면 누가 서윤을 밀었을까? 펜스이다.

회색 사람은 미는 순간의 서윤이다. 서윤은 손바닥으로 펜스를 빨간 힘 ${\overrightarrow{F}}_1$로 밀고, 같은 순간 펜스는 서윤의 손바닥을 파란 힘 ${\overrightarrow{F}}_2$로 민다. 두 화살표는 길이가 같고 방향이 반대이다. 얼음 위의 주황색 표시는 0.5초마다 서윤의 위치를 나타낸다. 미는 동안에는 서윤이 아직 빨라지고 있으므로 첫 간격이 더 짧다. 그 뒤로는 관성 때문에 일정한 속력으로 미끄러지므로 간격이 같다. 간단히 하려고 스케이트의 마찰은 무시한다.

작용 반작용 법칙

아이작 뉴턴은 1687년에 『프린키피아』에서 이 법칙을 다음과 같이 썼다(라틴어에서 옮김).

모든 작용에는 언제나 크기가 같은 반작용이 맞선다. 즉 두 물체가 서로 미치는 작용은 언제나 크기가 같고 방향이 반대이다.

오늘날의 말로 하면, 한 물체가 다른 물체에 힘을 작용하면 다른 물체도 처음 물체에 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 작용한다.

$${\overrightarrow{F}}_2=-{\overrightarrow{F}}_1$$

벡터 앞의 빼기 부호는 방향이 반대라는 뜻이고, 크기는 같아서 F₂ = F₁이다. 한 힘을 작용, 다른 힘을 반작용이라고 하는데, 어느 쪽을 무엇이라고 부르든 상관없다. 두 힘은 동시에 생기고 동시에 사라지며, 어느 쪽도 먼저가 아니다. 힘은 언제나 두 물체 사이의 상호 작용이므로 힘은 언제나 쌍으로 나타난다. 짝이 없는 외톨이 힘은 없다.

작용과 반작용의 쌍에는 세 가지 성질이 있다.

• 두 힘은 크기가 같다,
• 방향이 반대이다,
• 각각 서로 다른 물체에 작용한다.

셋째 성질이 가장 중요하고, 가장 자주 틀리는 것도 이것이다. 서윤은 펜스를 밀고, 펜스는 서윤을 민다. 서윤의 운동에 영향을 주는 것은 펜스의 힘뿐이다. 두 힘 가운데 서윤에게 작용하는 것은 그것뿐이기 때문이다.

계산해 보자. 서윤의 질량은 40 kg이고 펜스는 서윤을 80 N의 힘으로 민다. 가속도 법칙으로 가속도를 구한다.

$$a=\frac{F}{m}=\frac{80\mathrm{N}}{40\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

미는 데 0.5초가 걸린다면 서윤은 2 m/s² · 0.5 s = 1 m/s의 속력으로 멀어진다.

그렇다면 펜스는 왜 움직이지 않았을까? 서윤도 펜스를 같은 힘 80 N으로 민다. 하지만 펜스는 경기장에, 경기장은 지구에 단단히 붙어 있으므로 그 힘은 질량이 약 6 · 10²⁴ kg인 지구 전체가 받는다.

$$a=\frac{80\mathrm{N}}{6\cdot {10}^{24}\mathrm{kg}}\fallingdotseq 1.3\cdot {10}^{-23}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

이런 가속도는 누구도 잴 수 없다. 힘은 같지만 효과는 다르다. 질량이 엄청나게 다른 물체에 작용하기 때문이다.

달리는 자동차의 앞 유리에 파리가 부딪힐 때도 마찬가지이다. 자동차가 파리를 친 힘이 파리가 자동차를 친 힘보다 훨씬 크다고 생각하기 쉽다. 하지만 두 힘은 크기가 같다. 파리가 유리를 미는 힘과 유리가 파리를 미는 힘은 같다. 그런데 파리의 질량은 1 g도 되지 않으므로 같은 힘이 파리에게는 살아남을 수 없을 만큼 엄청난 가속도를 준다. 질량이 1 t이 넘는 자동차는 같은 힘으로 아주 조금 느려지므로 운전자는 알아차리지도 못한다.

말과 수레의 역설

말이 수레를 끈다. 그런데 제3법칙에 따르면 수레도 말을 같은 크기의 힘으로 뒤로 끈다. 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이므로 상쇄되어 아무것도 움직이지 않아야 할 것 같다. 그런데 어떻게 말과 수레가 움직이기 시작할까?

흔히 말이 수레를 끄는 힘이 수레가 말을 끄는 힘보다 크다고 답한다. 하지만 그렇지 않다. 두 힘은 출발할 때도, 달릴 때도, 멈출 때도 매 순간 크기가 같다. 잘못은 “상쇄된다”라는 말에 있다. 더하고 상쇄할 수 있는 것은 같은 물체에 작용하는 힘뿐이다. 말의 힘은 수레에, 수레의 힘은 말에 작용한다. 두 힘은 서로 다른 물체에 속하므로 상쇄될 수가 없다.

수레가 움직이기 시작하는지 알고 싶다면 수레에 작용하는 힘만 본다. 말은 빨간 힘 ${\overrightarrow{F}}_1$로 수레를 앞으로 끌고, 구름 저항은 주황색 힘 ${\overrightarrow{F}}_4$로 수레를 늦춘다. 끄는 힘이 저항보다 크면 수레는 빨라진다. 수레가 말을 끄는 파란 힘 ${\overrightarrow{F}}_2$는 여기에 들어가지 않는다. 그 힘은 말에 작용하기 때문이다.

말에는 수평 방향의 힘이 둘 작용한다. 수레는 힘 ${\overrightarrow{F}}_2$로 말을 뒤로 끌고, 땅은 초록색 힘 ${\overrightarrow{F}}_3$으로 말을 앞으로 민다. 말은 발굽으로 땅을 디디고 땅을 뒤로 밀며, 제3법칙에 따라 땅은 말을 앞으로 민다. 땅이 말을 미는 힘이 수레가 말을 뒤로 끄는 힘보다 크면 말은 움직이기 시작한다.

이제 수를 넣어 보자. 수레의 질량은 400 kg, 말의 질량은 600 kg이다. 말은 수레를 400 N의 힘으로 끌고, 저항은 200 N이다. 수레에 작용하는 알짜힘은 400 N − 200 N = 200 N이고 수레의 가속도는 다음과 같다.

$$a=\frac{200\mathrm{N}}{400\mathrm{kg}}=0.5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

말도 같은 가속도로 빨라져야 한다. 그렇지 않으면 수레가 앞서 나가거나 뒤처질 것이다. 그러니 말에 작용하는 알짜힘은 600 kg · 0.5 m/s² = 300 N이어야 한다. 수레가 말을 400 N의 힘으로 뒤로 끄므로 땅은 말을 400 N + 300 N = 700 N의 힘으로 앞으로 밀어야 한다.

결국 말과 수레 전체를 움직이게 하는 것은 땅이다. 땅은 말을 밀고, 말은 수레를 끈다. 발굽이 디딜 곳이 없는 빙판에서는 말이 헛발질만 할 뿐 수레는 꿈쩍도 하지 않을 것이다.

걷기, 자동차, 헤엄치기

걷는 것도 똑같다. 걸음을 내디딜 때 발바닥은 땅을 뒤로 밀고, 땅은 몸을 앞으로 민다. 몸을 앞으로 나아가게 하는 것은 땅이 미는 힘뿐이고, 다리만으로는 어디에도 갈 수 없다. 얼음 위에서는 발바닥이 미끄러져 땅을 뒤로 밀 수 없으므로 걷기가 그렇게 힘들다. 이때 땅도 같은 크기의 힘을 뒤쪽으로 받지만, 질량이 너무 커서 꿈쩍도 하지 않는다. 뛰어오를 때도 비슷하다. 다리가 땅을 아래로 밀고 땅은 몸을 위로 민다. 땅이 미는 힘이 지구가 몸을 아래로 당기는 힘보다 큰 동안 몸은 위쪽으로 빨라진다. 발이 땅에서 떨어지면 땅의 힘은 사라지고 중력만 남아서 몸을 다시 아래로 끌어내린다.

자동차도 비슷하게 움직인다. 엔진이 바퀴를 돌리면 타이어가 도로를 뒤로 민다. 제3법칙에 따라 도로는 자동차를 앞으로 민다. 엔진의 견인력이라고 부르는 힘은 사실 도로가 자동차에 작용하는 것이고, 엔진은 바퀴를 돌릴 뿐이다. 그래서 바퀴가 헛도는 빙판에서는 엔진이 요란하게 울어도 자동차가 거의 출발하지 못한다.

헤엄치는 사람은 물과 같은 일을 한다. 팔과 다리로 물을 뒤로 밀어내고, 물은 사람을 앞으로 민다. 배의 노도 물을 뒤로 밀고, 비행기의 프로펠러는 공기를 뒤로 민다.

로켓

로켓은 밀어낼 것이 없는 것처럼 보인다. 우주에는 땅도, 물도, 공기도 없다. 하지만 로켓은 밀어낼 것을 스스로 싣고 다닌다. 엔진은 연료를 태우고, 그때 생긴 뜨거운 기체를 노즐로 매우 빠르게 뒤로 내뿜는다. 로켓은 기체를 뒤로 밀고, 기체는 로켓을 앞으로 민다.

로켓이 뒤에 있는 공기를 밀어낸다는 착각이 널리 퍼져 있다. 그렇지 않다. 오히려 주위의 공기는 방해가 되므로 로켓 엔진은 진공에서 땅 근처에서보다 조금 더 큰 힘을 낸다. 바람을 넣은 풍선을 손에서 놓으면 같은 원리로 날아간다. 풍선에서 공기가 뒤로 빠져나가고 풍선은 앞으로 날아간다. 소방관이 손에 든 관창에서도 같은 것을 느낀다. 관창은 물을 앞으로 내뿜고 물은 관창을 뒤로 밀므로, 소방관은 관창을 힘껏 버티고 있어야 한다.

책상 위의 책

책상 위에 질량이 2 kg인 사전이 놓여 있다. 지구는 사전을 다음 중력으로 아래로 당긴다.

$$W=m\cdot g=2\mathrm{kg}\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\fallingdotseq 19.6\mathrm{N}.$$

그런데 사전은 떨어지지 않으므로 다른 힘이, 그것도 위쪽으로 작용해야 한다. 책상 면이 사전을 아래에서 미는 힘이다. 이 힘은 바닥면에 수직이므로 수직 항력 $\overrightarrow{N}$이라고 한다. 사전은 정지해 있고 알짜힘이 0이므로 수직 항력은 중력과 크기가 같아서 $N\fallingdotseq 19.6\mathrm{N}$이다.

파란 중력과 초록 수직 항력은 크기가 같고 방향이 반대이다. 이것이 작용과 반작용의 쌍일까? 그렇지 않다. 두 힘은 같은 물체, 즉 사전에 작용하지만, 작용과 반작용은 언제나 서로 다른 두 물체에 작용한다. 중력과 수직 항력은 평형을 이루는 서로 다른 두 힘이다. 두 힘의 크기가 같다는 것은 작용 반작용 법칙이 아니라 관성 법칙에서 나온다.

그렇다면 반작용은 어디에 있을까? 두 힘에는 저마다 반작용이 있다.

• 책상은 사전을 수직 항력 $\overrightarrow{N}$으로 위로 밀고, 사전은 책상을 힘 ${\overrightarrow{N}}^{\prime }$으로 아래로 민다,
• 지구는 사전을 중력 $\overrightarrow{W}$로 아래로 당기고, 사전은 지구를 같은 크기의 힘으로 위로 당긴다.

어느 힘이 어느 물체에 작용하는지 보이도록 그림에서는 사전을 조금 띄워 놓았다. 초록 수직 항력은 사전에, 빨간 힘 ${\overrightarrow{N}}^{\prime }$은 책상에 작용한다.

사전을 손바닥으로 위에서 10 N의 힘으로 누르면 차이가 잘 보인다. 중력은 변하지 않는다. 지구는 여전히 사전을 똑같이 당긴다. 그런데 이제 책상은 중력과 손바닥을 함께 버텨야 하므로 수직 항력이 커진다.

$$N=19.6\mathrm{N}+10\mathrm{N}=29.6\mathrm{N}$$

반작용도 똑같이 커져서 사전도 책상을 29.6 N의 힘으로 누른다. 중력과 수직 항력이 같았던 것은 사전을 누르는 다른 것이 없었기 때문일 뿐이고, 작용과 반작용은 언제나 크기가 같다.

작용과 반작용의 쌍은 그것을 나타내는 문장으로 가장 잘 알아볼 수 있다. “책상이 사전을 민다”와 “사전이 책상을 민다”는 쌍이다. 문장에서 두 물체의 자리만 바뀌었다. “지구가 사전을 당긴다”와 “책상이 사전을 민다”는 쌍이 아니다. 두 문장 모두 사전에 작용하기 때문이다.

뛰어오를 때부터 책상 위의 사전까지 중력이 계속 함께했다. 중력과 무게는 어떻게 다른지, 욕실의 체중계는 실제로 무엇을 보여 주는지, 그리고 위로 출발하는 엘리베이터에서는 왜 몸이 더 무거워지는지는 다음 글 중력과 무게에서 설명한다.